Корень из натурального числа. Приближения

Квадрат натурального числа — натуральное число. Но не всякое натуральное число — квадрат натурального.

Среди первых $20$ натуральных чисел квадратов только четыре: $1, 4, 9, 16$. Среди первой тысячи их $31$ (примерно $3\%$), среди чисел до $10\,000$ — сто ($1\%$).

Значит, у большинства натуральных чисел корень не целый: $\sqrt2$, $\sqrt3$, $\sqrt5$, $\sqrt{10}$…

Если натуральное число $n$ не является квадратом натурального числа, то $\sqrt n$ — иррациональное число.

Напомним: рациональное число можно записать дробью $\dfrac pq$ с целым $p$ и натуральным $q$; его десятичная запись конечна или периодична. Иррациональное — нельзя; его десятичная запись бесконечна и не периодична.

Отсюда $\sqrt2, \sqrt3, \sqrt5, \sqrt6, \sqrt7, \sqrt8, \sqrt{10}, \ldots$ — иррациональные числа.

• Предположим, что $\sqrt3$ рационально: $\sqrt3 = \dfrac pq$, где $p$, $q$ — натуральные, а дробь несократима.
• Возведём в квадрат: $3 = \dfrac{p^2}{q^2}$, то есть $p^2 = 3q^2$. Правая часть делится на $3$, значит, и $p^2$ делится на $3$.
• Тогда и $p$ делится на $3$: если $p = 3k + 1$ или $p = 3k + 2$, то $p^2 = 9k^2 + 6k + 1$ или $9k^2 + 12k + 4$ — на $3$ не делятся.
• Пусть $p = 3k$. Подставим: $9k^2 = 3q^2$, то есть $q^2 = 3k^2$ — значит, и $q$ делится на $3$.
• Получили, что $p$ и $q$ оба делятся на $3$ — дробь сократима. Противоречие. Значит, $\sqrt3$ иррационально.

• Целая часть: $1 < 2 < 4$, значит, $1 < \sqrt2 < 2$.
• Десятые: $1{,}4^2 = 1{,}96 < 2 < 2{,}25 = 1{,}5^2$, поэтому $1{,}4 < \sqrt2 < 1{,}5$.
• Сотые: $1{,}41^2 < 2 < 1{,}42^2$, поэтому $\sqrt2 \approx 1{,}41$. Дальше так же: $\sqrt2 = 1{,}4142135\ldots$

$\sqrt2 \approx 1{,}41$, $\sqrt3 \approx 1{,}73$, $\sqrt5 \approx 2{,}24$, $\sqrt{10} \approx 3{,}16$. Эти четыре значения полезно помнить.

В задании №7 ОГЭ точка на прямой сравнивается с корнем по квадратам: $\sqrt{10}$ лежит чуть правее $3$, потому что $10$ чуть больше $9$.

1. $7^2 = 49 < 60 < 64 = 8^2$, значит, $7 < \sqrt{60} < 8$.
2. Остальные варианты — ловушки: $59$ и $61$ — соседи самого числа $60$, а не корня; $20$ и $22$ — третья часть $60$.

1. $7 = \sqrt{49}$, $8 = \sqrt{64}$ — нужен корень из числа от $49$ до $64$.
2. Подходит $\sqrt{61}$. Проверка остальных: $\sqrt{42} < \sqrt{49} = 7$, а $\sqrt7$ и $\sqrt8$ меньше $3$.

1. $4$, $9$, $0$ — квадраты целых чисел: $\sqrt4 = 2$, $-\sqrt9 = -3$, $\sqrt0 = 0$ — рациональные.
2. $13$ и $20$ — не квадраты натуральных ($9 < 13 < 16$, $16 < 20 < 25$). По теореме $\sqrt{13}$ и $\sqrt{20}$ иррациональны.

1. а) $13^2 = 169 < 174 < 196 = 14^2$. Ближе к $169$, поэтому $\sqrt{174} \approx 13$ (проверка: $13{,}5^2 = 182{,}25 > 174$).
2. б) $49 < 51 < 64$, $7{,}5^2 = 56{,}25 > 51$, значит, $\sqrt{51} \approx 7$.

• Корень из натурального числа, которое не является точным квадратом, иррационален.
• Доказательство иррациональности $\sqrt3$ — от противного, через делимость на $3$.
• Приближение корня — подбором квадратов: целые, десятые, сотые.
• Помним: $\sqrt2 \approx 1{,}41$, $\sqrt3 \approx 1{,}73$, $\sqrt5 \approx 2{,}24$.