Механика · 10 класс · урок 1 из 5 · Мякишев, «Физика 10» (2019), гл. 5, § 32–36, § 32

Условия равновесия твёрдого тела. Момент силы

Выход к заданиям: ЕГЭ №4, ЕГЭ №5, ЕГЭ №6, ЕГЭ №26

Сначала нужно знать
Законы Ньютона, равнодействующая, центр масс
Зачем этот урок
ЕГЭ №4: правило моментов, рычаг, рейка на опорах; задачи №26 на равновесие лестниц и стержней
Дальше
Центр тяжести. Виды равновесия
Статика и гидростатика · урок 1
Условия равновесия твёрдого тела. Момент силы
Почему для покоя мало, чтобы сумма сил была нулём
Статика и абсолютно твёрдое тело

Тело, к которому приложены силы, находится в равновесии, если оно покоится. Условия равновесия важны в строительстве, машиностроении, приборостроении.

Реальные тела под действием сил деформируются, но часто деформациями можно пренебречь и считать тело абсолютно твёрдым — недеформируемым.

Статика — раздел механики, изучающий равновесие абсолютно твёрдых тел.

Материальная точка покоится, если векторная сумма всех сил, приложенных к ней, равна нулю: F⃗1+F⃗2+…=0\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \ldots = 0.
Первое условие равновесия

Движение центра масс определяют только внешние силы: mΔv⃗cΔt=∑F⃗im\dfrac{\Delta\vec{v}_c}{\Delta t} = \sum\vec{F}_i. При равновесии ускорение всех точек, а значит и центра масс, равно нулю:

Для равновесия твёрдого тела необходимо, чтобы сумма всех внешних сил была равна нулю (и центр масс вначале покоился).

∑F⃗i=0⟺∑Fix=0,  ∑Fiy=0,  ∑Fiz=0.\sum\vec{F}_i = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sum F_{ix} = 0,\ \ \sum F_{iy} = 0,\ \ \sum F_{iz} = 0.
Этого недостаточно
F−FC

Приложим к доске в разных точках равные противоположные силы — пару сил. Их сумма F⃗+(−F⃗)=0\vec{F} + (-\vec{F}) = 0, центр масс стоит, но доска поворачивается.

Так же две противоположные силы поворачивают руль велосипеда или автомобиля.

Нужно ещё одно условие — чтобы тело не вращалось.

Момент силы
OFdлиния действия

Вращать тело вокруг оси может только сила, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси. Её вращающее действие — момент силы:

M=±Fd.M = \pm Fd.
  • Плечо dd — кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы (длина перпендикуляра), а не до точки приложения.
  • Единица — ньютон-метр (Н·м).
  • Против часовой стрелки — плюс, по часовой — минус.
  • Сила, линия действия которой проходит через ось, момента не создаёт.
Второе условие равновесия

При равновесии твёрдого тела сумма моментов всех внешних сил относительно любой оси равна нулю.

M1+M2+M3+…=0.M_1 + M_2 + M_3 + \ldots = 0.
  • Вместе с первым: ∑F⃗i=0\sum\vec{F}_i = 0 и ∑Mi=0\sum M_i = 0 — тело в равновесии.
  • Ось можно выбрать любую. Удобно — через точку, где приложены неизвестные силы: их моменты обнулятся.
  • Рычаг: F1d1=F2d2F_1d_1 = F_2d_2 — правило моментов Архимеда: силы обратно пропорциональны плечам.
Как решать задачи статики
  • Изобразить все внешние силы, действующие на тело, и точки их приложения (тяжесть — в центре тяжести).
  • Записать первое условие в проекциях на удобные оси.
  • Выбрать ось для моментов — через точку с наибольшим числом неизвестных сил; найти плечи и знаки моментов.
  • Решить систему.
Длинный стержень легче держать горизонтально за середину, чем за конец: при опоре на конец у силы тяжести появляется плечо l2\tfrac{l}{2}, и рука должна создать уравновешивающий момент.
ОпытРычаг: правило моментов
  1. Слева 22 кг на плече 1,51{,}5 м, справа 33 кг на плече 11 м.
  2. До пуска: будет ли рычаг в равновесии? Сравни m1gl1m_1gl_1 и m2gl2m_2gl_2.
  3. Сдвинь правый груз на плечо 1,51{,}5 м: в какую сторону повернётся рычаг?
  4. Подбери массу правого груза, чтобы снова было равновесие.
Равновесие — когда моменты равны: 2⋅1,5=3⋅12 \cdot 1{,}5 = 3 \cdot 1. Важна не сила сама по себе, а её произведение на плечо.
ФизЛаб · Рычаг: моменты силm₁ = 2 кг, l₁ = 1,5 м, m₂ = 3 кг, l₂ = 1 мmatfizliga.ru/fizlab/#lever?m1=2&l1=1.5&m2=3&l2=1
ЕГЭ, задание 4Пример 1
Рычаг находится в равновесии под действием сил F1=5F_1 = 5 Н и F2=8F_2 = 8 Н. Плечо силы F2F_2 равно 1010 см. Определите плечо силы F1F_1 в сантиметрах.
  1. Правило моментов: F1d1=F2d2F_1d_1 = F_2d_2.
  2. d1=F2d2F1=8⋅105=16d_1 = \dfrac{F_2d_2}{F_1} = \dfrac{8 \cdot 10}{5} = 16 см — меньшей силе нужно большее плечо.
Ответ: 16
ЕГЭ, задание 4Пример 2
К лёгкой рейке на опорах A и B в точке O прикреплён груз массой 1010 кг; OA=4OA = 4 м, OB=1OB = 1 м. Определите модуль силы, с которой на рейку действует опора B. g=10g = 10 м/с².
  1. Ось — через A: момент её реакции нуль.
  2. Моменты относительно A: NB⋅AB=mg⋅AON_B \cdot AB = mg \cdot AO, AB=5AB = 5 м.
  3. NB=100⋅45=80N_B = \dfrac{100 \cdot 4}{5} = 80 Н. Проверка первым условием: NA=100−80=20N_A = 100 - 80 = 20 Н — ближняя к грузу опора нагружена сильнее.
Ответ: 80
ЕГЭ, задание 4Пример 3
Однородный стержень AC массой 1212 кг и длиной 200200 см опирается на вертикальную стенку в точке A и на пол в точке C; CB=140CB = 140 см (B — основание стенки). Найдите момент силы тяжести стержня относительно оси через A. g=10g = 10 м/с².
  1. Сила тяжести приложена в середине стержня и направлена вертикально.
  2. Плечо — горизонтальное расстояние от A до вертикали через середину: CB2=0,7\dfrac{CB}{2} = 0{,}7 м.
  3. M=mg⋅0,7=120⋅0,7=84M = mg \cdot 0{,}7 = 120 \cdot 0{,}7 = 84 Н·м.
Ответ: 84
ЕГЭ, задание 4Пример 4
Однородный стержень массой 3636 кг подвешен горизонтально на двух канатах, каждый под углом 30°30° к горизонту. Найдите натяжение каждого каната. g=10g = 10 м/с².
  1. Симметрия: натяжения одинаковы. По горизонтали проекции канатов компенсируют друг друга.
  2. По вертикали: 2Tsin⁡30°=mg2T\sin 30° = mg, T=mg2⋅0,5=mgT = \dfrac{mg}{2 \cdot 0{,}5} = mg.
  3. T=360T = 360 Н — пологие канаты натянуты сильнее, чем вес стержня делённый пополам.
Ответ: 360
Мякишев, § 32Пример 5
AF₁mgd
Цилиндр радиусом 2020 см и массой 500500 г вкатывают на ступеньку высотой 1616 см. Найдите минимальную горизонтальную силу F1F_1, приложенную к центру масс, и минимальную силу F2F_2 любого направления. g=9,8g = 9{,}8 м/с².
  1. Ось — через ребро ступеньки A: момент реакции ноль. Плечо тяжести d=R2−(R−h)2=2Rh−h2≈0,196d = \sqrt{R^2 - (R - h)^2} = \sqrt{2Rh - h^2} \approx 0{,}196 м, плечо горизонтальной силы R−h=0,04R - h = 0{,}04 м.
  2. F1(R−h)=mgdF_1(R - h) = mgd: F1=0,5⋅9,8⋅0,1960,04≈24F_1 = \dfrac{0{,}5 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}196}{0{,}04} \approx 24 Н.
  3. Сила минимальна при наибольшем плече: F⃗2⊥OA\vec{F}_2 \perp OA, плечо RR: F2=mgdR≈4,8F_2 = \dfrac{mgd}{R} \approx 4{,}8 Н.
Ответ: F1≈24F_1 \approx 24 Н, F2≈4,8F_2 \approx 4{,}8 Н
Главное
  • Статика изучает равновесие абсолютно твёрдых тел.
  • 1-е условие: ∑F⃗i=0\sum\vec{F}_i = 0; 2-е: ∑Mi=0\sum M_i = 0 относительно любой оси.
  • Момент M=±FdM = \pm Fd, плечо — перпендикуляр от оси до линии действия.
  • Пара сил вращает тело при нулевой сумме сил.
  • Ось для моментов выбирают через точку с неизвестными силами.

Все уроки станции «Статика и гидростатика»

  1. Условия равновесия твёрдого тела. Момент силы
  2. Центр тяжести. Виды равновесия
  3. Давление в жидкостях и газах. Закон Паскаля
  4. Закон Архимеда
  5. Течение жидкости. Уравнение Бернулли