Механика · 10 класс · урок 3 из 5 · Мякишев, «Физика 10» (2019), гл. 5, § 32–36, § 34

Давление в жидкостях и газах. Закон Паскаля

Выход к заданиям: ЕГЭ №4, ЕГЭ №5, ЕГЭ №6, ЕГЭ №26

Сначала нужно знать: Сила, вес, плотность, условия равновесия
Зачем этот урок: ЕГЭ №4: гидростатическое давление, сообщающиеся сосуды с разными жидкостями, гидравлический пресс
Дальше: Закон Архимеда

Статика и гидростатика · урок 3

Как давит жидкость и куда передаётся давление

Сила давления и давление

Сила, с которой жидкость (газ) действует на поверхность тела или на соседний объём жидкости, в покое направлена перпендикулярно поверхности — сила давления.

p = \frac{F}{S}, \qquad 1\ \text{Па} = 1\ \text{Н/м}^2.

Паскаль — единица в честь Блеза Паскаля; 1 гПа $= 10^2$ Па, 1 кПа $= 10^3$ Па, 1 МПа $= 10^6$ Па.
Внесистемная — физическая атмосфера: $1$ атм $= 101\,325$ Па — нормальное атмосферное давление, $760$ мм рт. ст. (опыт Торричелли).

Гидростатическое давление

Выделим вертикальный столб жидкости высотой $h$ над площадкой $S$ . Его объём $V = Sh$ , вес $P = mg = \rho Shg$ . Давление на основание:

p = \frac{\rho Shg}{S} = \rho gh, \qquad p = p_0 + \rho gh.

Гидростатическое давление зависит только от плотности и высоты столба, а не от формы сосуда.
$p_0$ — внешнее (атмосферное) давление на поверхность.
На каждые $10$ м глубины воды давление растёт примерно на $1$ атм — поэтому прочны корпуса подлодок и батискафов.

Закон Паскаля

Наполним водой шар с отверстиями и надавим поршнем — из всех отверстий брызнут одинаковые струи. С дымом в шаре — то же самое.

Давление, производимое внешними силами на покоящуюся жидкость (газ), передаётся жидкостью во все стороны одинаково.

С учётом тяжести: давление внутри зависит от глубины, а внешнее давление увеличивает его во всех точках на одну и ту же величину.

Давление не зависит от ориентации площадки

Принцип отвердевания: если частицы жидкости друг относительно друга не смещаются, любой её объём можно считать твёрдым телом и применять условия равновесия.

Выделим малую треугольную призму. Тяжесть мала по сравнению с силами давления на боковые грани; призма покоится: $\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = 0$ .

Треугольник сил подобен треугольнику сечения призмы, поэтому силы пропорциональны площадям граней: $\dfrac{F_1}{S_1} = \dfrac{F_2}{S_2} = \dfrac{F_3}{S_3}$ , то есть $p_1 = p_2 = p_3$ .

Давление в покоящейся жидкости в данной точке одинаково во всех направлениях.

Сообщающиеся сосуды и гидравлический пресс

В сообщающихся сосудах на одном уровне одной жидкости давление одинаково. Однородная жидкость стоит в коленах на одной высоте.
Разные жидкости: $\rho_1h_1 = \rho_2h_2$ над уровнем раздела — высоты обратно пропорциональны плотностям.
Гидравлический пресс: давление поршней одинаково, $\dfrac{F_1}{S_1} = \dfrac{F_2}{S_2}$ — выигрыш в силе $\dfrac{S_2}{S_1}$ , проигрыш в пути во столько же раз.

ОпытСообщающиеся сосуды и пресс

Включён гидравлический пресс: малый поршень площадью $S_1$ , большой — в $10$ раз больше.
До пуска: какая сила подействует на большой поршень, если на малый давят с силой $50$ Н?
Проверь и посмотри, насколько опустится малый поршень и поднимется большой.
Выключи пресс и долей жидкость в одно колено: что с уровнями?

Давление одно:

\dfrac{50}{S_1} = \dfrac{F_2}{10S_1}

F_2 = 500

Н. Работа при этом не выигрывается: большой поршень проходит вдесятеро меньший путь.

ФизЛаб · Сосуды и закон ПаскаляS₂ = 10·S₁, F₁ = 50 Н, водаmatfizliga.ru/fizlab/#vessels?S1=10&S2=100&rho=1000&F1=50&press=1

ЕГЭ, задание 4Пример 1

Глубина озера

8

м. Какое давление на дне? Атмосферное давление

100

кПа,

g = 10

м/с². Ответ в кПа.

$p = p_0 + \rho gh = 100\,000 + 1000 \cdot 10 \cdot 8$ Па.
$p = 180$ кПа.

Ответ: 180

ЕГЭ, задание 4Пример 2

В U-образную трубку налили воду, затем в одно колено долили масло плотностью

750

кг/м³. Верхний уровень масла на высоте

h_3 = 48

см от основания, граница масло — вода на

h_1 = 12

см. На какой высоте

h_2

уровень воды в другом колене?

Ниже уровня $h_1$ в обоих коленах одна вода — давления на уровне $h_1$ равны.
Слева над $h_1$ — масло высотой $36$ см, справа — вода высотой $h_2 - h_1$ : $\rho_{\text{м}}(h_3 - h_1) = \rho_{\text{в}}(h_2 - h_1)$ .
$h_2 = 12 + 0{,}75 \cdot 36 = 39$ см.

Ответ: 39

ЕГЭ, задание 4Пример 3

Радиус большого поршня гидравлического пресса в

5

раз больше радиуса малого. На малый поршень положили груз

20

кг, удерживая большой неподвижным. Какая сила действует на большой поршень?

g = 10

м/с².

Площади относятся как квадраты радиусов: $\dfrac{S_2}{S_1} = 25$ .
Давление одинаково: $F_2 = F_1\dfrac{S_2}{S_1} = 200 \cdot 25 = 5000$ Н.

Ответ: 5000

Мякишев, § 34Пример 4

В сообщающихся цилиндрических сосудах — ртуть; диаметр одного в

4

раза больше диаметра другого. В широкий (левый) сосуд наливают столб воды

0{,}7

м. На сколько поднимется ртуть в узком сосуде и опустится в широком?

\rho_{\text{рт}} = 13{,}6 \cdot 10^3

кг/м³.

Ртуть в широком опустилась на $x$ , в узком поднялась на $y$ . Объём ртути сохраняется: $xD^2 = yd^2$ , $y = 16x$ .
На уровне новой границы вода — ртуть давления равны: $\rho_{\text{в}}gh = \rho_{\text{рт}}g(x + y)$ , $x + y = \dfrac{0{,}7}{13{,}6} \approx 0{,}0515$ м.
$17x = 0{,}0515$ : $x \approx 3$ мм, $y \approx 4{,}8$ см.

Ответ: в узком поднимется на $\approx 4{,}8$ см, в широком опустится на $\approx 3$ мм

Главное

$p = \dfrac{F}{S}$ , 1 Па $= 1$ Н/м², $1$ атм $= 101\,325$ Па.
Гидростатическое давление $p = p_0 + \rho gh$ — не зависит от формы сосуда.
Закон Паскаля: внешнее давление передаётся во все стороны одинаково.
Давление в точке не зависит от ориентации площадки.
Сообщающиеся сосуды: $\rho_1h_1 = \rho_2h_2$ ; пресс: $\dfrac{F_1}{S_1} = \dfrac{F_2}{S_2}$ .

Давление в жидкостях и газах. Закон Паскаля

Все уроки станции «Статика и гидростатика»