Механика · 10 класс · урок 4 из 5 · Мякишев, «Физика 10» (2019), гл. 5, § 32–36, § 35

Закон Архимеда

Выход к заданиям: ЕГЭ №4, ЕГЭ №5, ЕГЭ №6, ЕГЭ №26

Сначала нужно знать
Гидростатическое давление, условия равновесия
Зачем этот урок
ЕГЭ №4: архимедова сила, условие плавания, доля погружённого объёма; часто — в №5 и №26
Дальше
Течение жидкости. Уравнение Бернулли
Статика и гидростатика · урок 4
Закон Архимеда
Откуда берётся выталкивающая сила
Вывод выталкивающей силы
F₁F₂h₁h₂

Погрузим в жидкость параллелепипед с горизонтальными основаниями. Силы давления на боковые грани уравновешены и только сжимают его.

На верхнее основание: F1=ρgh1SF_1 = \rho gh_1S, на нижнее: F2=ρgh2SF_2 = \rho gh_2S. Так как h2>h1h_2 > h_1, то F2>F1F_2 > F_1. Равнодействующая направлена вверх:

FA=F2−F1=ρg(h2−h1)S=ρgV.F_A = F_2 - F_1 = \rho g(h_2 - h_1)S = \rho gV.
Атмосферное давление добавляется к обеим силам и на разность не влияет. Вывод верен для тела любой формы; если тело погружено частично, VV — объём погружённой части.
Закон Архимеда
На тело, погружённое в жидкость (или газ), действует выталкивающая сила, равная весу жидкости (газа) в объёме погружённой части тела.
  • FA=ρжgVпогрF_A = \rho_{\text{ж}}gV_{\text{погр}}; ρж\rho_{\text{ж}} — плотность жидкости, а не тела.
  • Направлена вверх, приложена к центру тяжести вытесненного объёма.
  • Опыт: на пружине стакан и цилиндр одного объёма. Погрузим цилиндр в отливной сосуд — пружина сожмётся. Выльем вытесненную воду в стакан — указатель вернётся на место.
  • Архимедова сила не зависит от глубины погружения (пока тело целиком в жидкости).
Условие плавания
FA=mg⟺ρжgVпогр=ρтgV.F_A = mg \quad\Longleftrightarrow\quad \rho_{\text{ж}}gV_{\text{погр}} = \rho_{\text{т}}gV.
  • Тело плавает, если сила тяжести равна архимедовой силе.
  • Доля погружённого объёма: VпогрV=ρтρж\dfrac{V_{\text{погр}}}{V} = \dfrac{\rho_{\text{т}}}{\rho_{\text{ж}}}. Лёд в воде погружён на 0,90{,}9 объёма.
  • ρт>ρж\rho_{\text{т}} > \rho_{\text{ж}} — тонет, ρт<ρж\rho_{\text{т}} < \rho_{\text{ж}} — всплывает, ρт=ρж\rho_{\text{т}} = \rho_{\text{ж}} — плавает внутри.
  • Стальной корпус корабля в 55 раз плотнее воды, но средняя плотность корабля (масса / весь объём) меньше плотности воды.
Архимедова сила в газах

Выталкивающая сила действует и в воздухе, но плотность воздуха мала (≈1,3\approx 1{,}3 кг/м³), и обычно ею пренебрегают.

Для латунной гири (плотность 8,6⋅1038{,}6 \cdot 10^3 кг/м³) выталкивающая сила — лишь 0,015 %0{,}015\,\% силы тяжести.

Но воздушные шары и аэростаты держатся именно ею: их средняя плотность меньше плотности окружающего воздуха.

ОпытПлавание тел
  1. Тело плотностью 600600 кг/м³ в воде.
  2. До пуска: какая доля его объёма окажется под водой?
  3. Подними плотность тела до 12001200 кг/м³: что изменится? А если жидкость сделать 13001300 кг/м³?
  4. Сравни архимедову силу у плавающего и у утонувшего тела.
Плавающее тело погружено на долю ρт/ρж=0,6\rho_{\text{т}}/\rho_{\text{ж}} = 0{,}6. Утонувшее вытесняет весь свой объём, и архимедова сила больше — но меньше силы тяжести.
ФизЛаб · Архимед и гидростатикаρ тела = 600 кг/м³, ρ жидкости = 1000 кг/м³matfizliga.ru/fizlab/#arch?rhoB=600&rhoL=1000
ЕГЭ, задание 4Пример 1
Кубик из пробки с ребром 1010 см опускают в воду. Плотность пробки 0,250{,}25 г/см³. Каково отношение объёма над водой к объёму под водой?
  1. Плавание: доля под водой ρтρж=0,25\dfrac{\rho_{\text{т}}}{\rho_{\text{ж}}} = 0{,}25, над водой — 0,750{,}75.
  2. 0,750,25=3\dfrac{0{,}75}{0{,}25} = 3. Размер кубика не нужен.
Ответ: 3
ЕГЭ, задание 4Пример 2
На плавающем теле объёмом 500500 см³ стоит кубик массой 100100 г; тело погружено в воду целиком, а кубик над водой. Каким станет погружённый объём, если снять кубик?
  1. С кубиком: ρвgV=(M+m)g\rho_{\text{в}}gV = (M + m)g, M+m=1⋅500=500M + m = 1 \cdot 500 = 500 г, значит, масса тела M=400M = 400 г.
  2. Без кубика: ρвV′=M\rho_{\text{в}}V' = M, V′=4001=400V' = \dfrac{400}{1} = 400 см³.
Ответ: 400
ЕГЭ, задание 4Пример 3
Тело массой 600600 г плавает в очень глубоком сосуде, погрузившись на 34\dfrac34 объёма. К нему прикладывают направленную вниз силу 33 Н. Чему станет равна архимедова сила через достаточно большое время? g=10g = 10 м/с².
  1. Плавая, тело вытесняет 34\tfrac34 объёма: FA=mg=6F_A = mg = 6 Н. При полном погружении FAmax⁡=43⋅6=8F_{A\max} = \dfrac43 \cdot 6 = 8 Н.
  2. Чтобы удержать тело целиком под водой, нужно 8−6=28 - 6 = 2 Н, а давят 33 Н — тело утонет.
  3. На дне архимедова сила максимальна: 88 Н (остальное держит дно).
Ответ: 8
Мякишев, § 35Пример 4
Однородная льдина площадью сечения 55 м² и высотой 3030 см плавает в воде. Как изменится глубина погружения, если на неё встанет человек массой 4040 кг? Будет ли льдина погружена целиком? ρл=900\rho_{\text{л}} = 900 кг/м³.
  1. Без человека: ρвSy=ρлSh\rho_{\text{в}}Sy = \rho_{\text{л}}Sh, y=0,9⋅0,3=0,27y = 0{,}9 \cdot 0{,}3 = 0{,}27 м.
  2. С человеком дополнительный вес уравновешивает дополнительная архимедова сила: ρвSx=m\rho_{\text{в}}Sx = m, x=401000⋅5=0,8x = \dfrac{40}{1000 \cdot 5} = 0{,}8 см.
  3. Глубина 27+0,8=27,827 + 0{,}8 = 27{,}8 см <30< 30 см — льдина не утонет целиком.
Ответ: увеличится на 0,80{,}8 см; нет
Главное
  • FA=ρжgVпогрF_A = \rho_{\text{ж}}gV_{\text{погр}} — вес вытесненной жидкости, направлена вверх.
  • Возникает из-за разности давлений на нижнюю и верхнюю части тела.
  • Плавание: FA=mgF_A = mg; доля погружения ρт/ρж\rho_{\text{т}}/\rho_{\text{ж}}.
  • Корабль плавает, потому что его средняя плотность меньше плотности воды.
  • В газах архимедова сила мала, но держит аэростаты.

Все уроки станции «Статика и гидростатика»

  1. Условия равновесия твёрдого тела. Момент силы
  2. Центр тяжести. Виды равновесия
  3. Давление в жидкостях и газах. Закон Паскаля
  4. Закон Архимеда
  5. Течение жидкости. Уравнение Бернулли