Течение жидкости. Уравнение Бернулли

В реальной жидкости при движении слоёв друг относительно друга действуют силы внутреннего трения — вязкость. Чтобы описать течение проще, вводят модель идеальной жидкости: без вязкости и несжимаемую.

Наблюдают течение, подмешав алюминиевый порошок: на снимке с малой выдержкой каждая блёстка — чёрточка, длина которой пропорциональна скорости.

При длинной выдержке чёрточки сливаются в линии тока — касательные к ним направлены по скоростям частиц. Где линии гуще, скорость больше.

• Ламинарное (слоистое): слои скользят друг относительно друга, не перемешиваясь. Так течёт вода в спокойной реке.
• Турбулентное (вихревое): слои перемешиваются с образованием вихрей — за сваями моста, за кормой катера, в выхлопе двигателя, в смерче. В природе встречается чаще.
• Стационарное течение: скорость в каждой точке пространства не меняется со временем; линии тока совпадают с траекториями частиц.
• Трубка тока — объём, ограниченный линиями тока: частицы не пересекают её стенок.

За малое время $\Delta t$ через сечение $S_1$ проходит объём $S_1v_1\Delta t$, через $S_2$ — $S_2v_2\Delta t$. Несжимаемая жидкость не может накапливаться в трубке тока, поэтому эти объёмы равны:

Возьмём трубу переменного сечения с вертикальными открытыми трубками. При стационарном течении высота столбика в каждой трубке показывает давление в трубе.

Опыт: в широких местах столбики выше, в узком — ниже. Но в узком месте скорость больше.

Даниил Бернулли (1738) применил закон сохранения энергии к объёму жидкости между двумя сечениями наклонной трубы:

• $p$ — статическое давление, $\dfrac{\rho v^2}{2}$ — динамическое давление (плотность кинетической энергии), $\rho gh$ — плотность потенциальной энергии.
• Сумма давления и плотностей кинетической и потенциальной энергии при стационарном течении идеальной жидкости одинакова во всех сечениях.
• Горизонтальная труба: $p_1 + \dfrac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \dfrac{\rho v_2^2}{2}$ — скорость выше, давление ниже.
• Применимо и к ламинарному течению газов.

• Водоструйный насос: в сужении трубки вода течёт быстро, давление там ниже атмосферного — воздух из сосуда всасывается в струю.
• Пульверизатор: воздух быстро проходит над вертикальной трубкой, давление над ней падает, атмосферное давление поднимает жидкость, и струя её распыляет.
• Подъёмная сила крыла: у задней кромки образуется вихрь, вокруг крыла — циркуляция воздуха; над крылом скорость потока больше, давление меньше, чем под крылом. Теорию построил Н. Е. Жуковский.
• Корабли, идущие рядом, сближаются: между ними вода течёт быстрее, давление там меньше, чем снаружи.

1. В системе отсчёта кораблей вода обтекает их. Между бортами поток зажат в узкий канал — по уравнению неразрывности скорость воды там больше.
2. По уравнению Бернулли давление между кораблями меньше, чем с внешних сторон.
3. Разность давлений толкает корабли друг к другу — поэтому на флоте запрещено идти близко параллельным курсом.

1. Сила давления струи снизу уравновешивает силу тяжести.
2. Если шарик сместится вбок, с внутренней стороны его обтекает быстрая струя, с внешней — неподвижный воздух. Давление со стороны струи меньше.
3. Разность давлений возвращает шарик в струю — равновесие устойчивое.

1. Каждую секунду камень останавливает массу воды $\rho a^2v$, её импульс меняется на $\rho a^2v^2$ — это сила напора $F = \rho a^2v^2$.
2. Камень опрокидывается вокруг нижнего ребра, когда момент силы напора (плечо $\dfrac{a}{2}$) больше момента тяжести $\rho_{\text{к}}a^3g$ (плечо $\dfrac{a}{2}$): $\rho a^2v^2 \ge \rho_{\text{к}}a^3g$, то есть $a \sim v^2$.
3. Масса $m \sim a^3 \sim v^6$: при втрое большей скорости — в $3^6 = 729$ раз.

1. Вода поднялась бы на $\dfrac{v_0^2}{2g} = 20$ м, поэтому на высоте $16$ м она ещё летит вверх. Скорость там из закона сохранения энергии: $v = \sqrt{v_0^2 - 2gh} = \sqrt{400 - 320} \approx 8{,}9$ м/с.
2. Уравнение неразрывности: через каждое сечение в секунду проходит одинаковый объём, $\pi r_0^2v_0 = \pi r^2v$.
3. $r = r_0\sqrt{\dfrac{v_0}{v}} = 1 \cdot \sqrt{\dfrac{20}{8{,}94}} \approx 1{,}5$ см — струя, замедляясь, расширяется.

• Идеальная жидкость — без вязкости и несжимаемая; линии тока показывают направление и величину скорости.
• Течение ламинарное (слои) или турбулентное (вихри).
• Неразрывность: $S_1v_1 = S_2v_2$ — в узком месте быстрее.
• Бернулли: $p + \rho gh + \dfrac{\rho v^2}{2} = \text{const}$ — где быстрее, там давление меньше.
• Насосы, пульверизатор, подъёмная сила крыла, сближение кораблей.