Механика · 10 класс · урок 2 из 5 · Мякишев, «Физика 10» (2019), гл. 5, § 32–36, § 33

Центр тяжести. Виды равновесия

Выход к заданиям: ЕГЭ №4, ЕГЭ №5, ЕГЭ №6, ЕГЭ №26

Сначала нужно знать: Условия равновесия, момент силы, центр масс
Зачем этот урок: ЕГЭ №4 и №26: положение центра тяжести, рычаг с массивной балкой, устойчивость
Дальше: Давление в жидкостях и газах. Закон Паскаля

Статика и гидростатика · урок 2

Где приложена сила тяжести и почему одни тела стоят, а другие падают

Центр тяжести двух тел

Два шара массами $m_1$ и $m_2$ на лёгком стержне. На них действуют параллельные силы тяжести $F_1$ и $F_2$ ; равнодействующая $F_{\text{т}} = F_1 + F_2$ направлена вниз. Где она приложена?

Если закрепить тело на оси через центр тяжести C, оно в равновесии (моменты тяжести и реакции оси нулевые). Отсюда $F_1d_1 = F_2d_2$ :

\frac{d_1}{d_2} = \frac{F_2}{F_1}.

Точка приложения равнодействующей параллельных сил делит расстояние между точками их приложения на отрезки, обратно пропорциональные силам. Если тело мало по сравнению с Землёй, центр тяжести совпадает с центром масс.

Центр тяжести — где он у разных тел

У однородных симметричных тел — в центре симметрии: шар, диск, куб, прямоугольный брус, середина однородного стержня.
Центр тяжести может лежать вне тела: у кольца — в его центре, у подковы — между концами.
Найти опытом: подвесить тело за две разные точки; вертикали через точки подвеса пересекаются в центре тяжести.
Тело на опоре в одной точке (тетрадь на карандаше) в равновесии, когда опора находится точно под центром тяжести.

Виды равновесия

Шарик на дне чаши: сместим и отпустим — вернётся. Равнодействующая тяжести и реакции возвращает его — равновесие устойчивое.

Шарик на вершине выпуклой поверхности: сместим — скатится дальше, равновесие неустойчивое.

Шарик на гладкой горизонтальной плоскости: сместим — останется на новом месте, равновесие безразличное.

Принцип минимума потенциальной энергии

В устойчивом положении центр тяжести занимает наинизшее положение среди всех соседних — потенциальная энергия минимальна.

Устойчиво то положение тела, в котором его потенциальная энергия минимальна.

Неустойчивое — максимум потенциальной энергии; безразличное — энергия при смещении не меняется.
Ванька-встанька возвращается, потому что при наклоне его тяжёлый низ поднимается.

Когда тело на опоре не опрокинется

Поставим на доску этажерку с отвесом из центра тяжести и будем поднимать край доски. Пока отвес пересекает площадь опоры, этажерка стоит; как только вертикаль через центр тяжести выходит за край опоры — опрокидывается.

В этот момент момент силы тяжести относительно ребра A меняет знак и начинает опрокидывать тело.

Тело на плоскости устойчиво, пока вертикаль через центр тяжести проходит внутри площади опоры. Устойчивость тем больше, чем больше площадь опоры и ниже центр тяжести. Поэтому у подъёмных кранов противовесы, а грузовик на склоне не должен быть загружен высоко.

Стевин и вечный двигатель

Симон Стевин нашёл закон равновесия на наклонной плоскости без правила параллелограмма. На треугольник с горизонтальным основанием накинута замкнутая цепь из шаров: на длинном катете шаров больше, но цепь не движется — иначе получился бы вечный двигатель.

Вывод Стевина: скатывающая сила на наклонной плоскости во столько раз меньше веса груза, во сколько высота плоскости меньше её длины: $F = mg\dfrac{h}{l} = mg\sin\alpha$ .

ЕГЭ, статикаПример 1

Однородная балка массой

M

уравновешена на остроконечной опоре. Опору передвигают вправо на

\dfrac14

длины балки. Какую силу нужно приложить к правому концу B, чтобы сохранить равновесие? 1)

Mg

; 2)

\dfrac{Mg}{2}

; 3)

\dfrac{Mg}{3}

; 4)

\dfrac{Mg}{4}

Сначала опора была в середине — под центром тяжести. Теперь центр тяжести на $\dfrac{L}{4}$ левее опоры, а конец B — на $\dfrac{L}{4}$ правее.
Моменты относительно опоры: $Mg \cdot \dfrac{L}{4} = F \cdot \dfrac{L}{4}$ .
$F = Mg$ — вариант 1. Сила направлена вниз.

Ответ: 1

ЕГЭ, статикаПример 2

К лёгкому стержню в точках 1 и 3 приложены силы

F_1 = 20

Н (вниз, в крайней правой точке 1) и

F_2 = 60

Н (вверх, в точке 3). Точки 1–6 идут через равные промежутки справа налево. Через какую точку должна проходить ось, чтобы стержень был в равновесии? 1) 2; 2) 4; 3) 5; 4) 6.

Силы противоположны — ось лежит вне отрезка между ними, со стороны большей силы, и $F_1d_1 = F_2d_2$ , $\;d_1 = d_2 + 2$ (в делениях).
$20(d_2 + 2) = 60d_2$ , $d_2 = 1$ , $d_1 = 3$ : ось на одно деление левее точки 3 — точка 4.
Ответ — вариант 2.

Ответ: 2

ЕГЭ, задание 26Пример 3

На земле лежит бревно с торцами разного диаметра, объём

0{,}2

м³, средняя плотность

450

кг/м³. Чтобы поднять один край, нужна сила

F_1 = 350

Н. Какую силу

F_2

надо приложить, чтобы приподнять второй край?

g = 10

м/с².

Поднимая край, вращаем бревно вокруг другого края; сила вертикальна. Если $a$ и $b$ — расстояния от центра тяжести до концов, $L = a + b$ : $F_1L = mgb$ , $F_2L = mga$ .
Складываем: $(F_1 + F_2)L = mgL$ , то есть $F_1 + F_2 = mg$ .
$mg = 450 \cdot 0{,}2 \cdot 10 = 900$ Н, $F_2 = 900 - 350 = 550$ Н.

Ответ: 550

Главное

Центр тяжести — точка приложения равнодействующей сил тяжести; делит расстояние между частями обратно силам.
У однородных симметричных тел — в центре симметрии; может лежать вне тела.
Равновесие устойчивое (минимум $E_{\text{п}}$ ), неустойчивое (максимум), безразличное.
Тело на опоре стоит, пока вертикаль через центр тяжести внутри площади опоры.
Устойчивость растёт с площадью опоры и с понижением центра тяжести.

Центр тяжести. Виды равновесия

Все уроки станции «Статика и гидростатика»