Системы рациональных уравнений. Подстановка

Уравнение, обе части которого — рациональные выражения относительно $x$ и $y$, называют рациональным уравнением с двумя неизвестными $x$ и $y$. Например: $2x + y - 4 = 0$, $\ 2x^2 - 3xy + y - x + 1 = 0$, $\ \dfrac1x = 3 - \dfrac4y$.

Пару чисел $(x_0;\ y_0)$ называют решением уравнения, если при подстановке $x_0$ вместо $x$ и $y_0$ вместо $y$ получается верное числовое равенство. Пара $(2;\ 0)$ — решение первого уравнения, $(0;\ -1)$ — второго, $(-1;\ 1)$ — третьего.

Так же определяются уравнения с тремя неизвестными и их решения — тройки $(x_0;\ y_0;\ z_0)$.

• Уравнение, левая часть которого — многочлен первой степени, а правая — нуль, называют уравнением первой степени: $2x + y - 4 = 0$, $\ 3x - 6y + z - 6 = 0$.
• Левая часть — многочлен второй степени: уравнение второй степени: $2x^2 - 3xy + y - x + 1 = 0$.
• Многочлен степени $n$ — уравнение степени $n$: $x^2 - xy^2 + 7 = 0$ имеет степень $3$, а $x^3y - x^{10} + 1 = 0$ — степень $10$.

Решить систему двух рациональных уравнений с двумя неизвестными $x$ и $y$ — найти все пары $(x;\ y)$, которые являются решениями одновременно и первого, и второго уравнения, или показать, что таких пар нет.

Решение системы — пара чисел, являющаяся решением каждого уравнения системы. Аналогично для трёх уравнений с тремя неизвестными.

• 1) Уравнения системы можно поменять местами.
• 2) В любом уравнении можно перенести члены из одной части в другую с противоположным знаком.
• 3) Обе части одного уравнения можно умножить на не равное нулю число.
• 4) Одно из уравнений можно заменить суммой этого уравнения и другого уравнения системы.
• 5) В уравнении можно привести подобные члены многочлена и применить формулы сокращённого умножения.

• Из уравнения первой степени выражаем одно неизвестное через другое: $x = 7 - 2y$.
• Подставляем это выражение во второе уравнение — получаем уравнение с одним неизвестным.
• Решаем его. Если корней нет — нет решений и у системы.
• Каждый найденный корень подставляем в выражение из первого шага и находим второе неизвестное.

1. Из первого уравнения $x = 7 - 2y$.
2. Подставим во второе: $(7 - 2y)^2 + 2(7 - 2y)y + y^2 + 3y - 4(7 - 2y) - 31 = 0$.
3. Раскрываем скобки: $49 - 28y + 4y^2 + 14y - 4y^2 + y^2 + 3y - 28 + 8y - 31 = 0$, то есть $y^2 - 3y - 10 = 0$, корни $y_1 = -2$, $y_2 = 5$.
4. $x_1 = 7 - 2 \cdot (-2) = 11$, $\ x_2 = 7 - 10 = -3$.

1. Из первого уравнения $y = 3x + 9$.
2. Подставим во второе: $x^2 - (3x + 9)^2 + (3x + 9) - 5x - 32 = 0$, то есть $-8x^2 - 56x - 104 = 0$.
3. Делим на $-8$: $x^2 + 7x + 13 = 0$, $\ D = 49 - 52 = -3 < 0$ — корней нет.
4. Значит, система не имеет решений.

1. Из первого уравнения $y = 2 - x$. Подставим во второе: $\dfrac{x - 1}{4 - x} + \dfrac{1 - x}{x + 2} = \dfrac14$.
2. Переносим всё влево и складываем дроби: $\dfrac{9x^2 - 18x}{4(4 - x)(x + 2)} = 0$.
3. Числитель $9x(x - 2) = 0$: $x = 0$ или $x = 2$; знаменатель при этих $x$ не равен нулю.
4. $y = 2 - x$: при $x = 0$ — $y = 2$, при $x = 2$ — $y = 0$.

1. Правые части равны, значит, равны и левые: $9x^2 - 14x = 9x - 14$, $\ 9x^2 - 23x + 14 = 0$.
2. $D = 529 - 504 = 25$, $\ x = \dfrac{23 \pm 5}{18}$: $\ x_1 = 1$, $x_2 = \dfrac{14}{9}$.
3. $y = 9x - 14$: при $x = 1$ — $y = -5$; при $x = \dfrac{14}{9}$ — $y = 0$.

1. Подставим $x^2$ из первого уравнения во второе: $6y + 7 + 2 = 6y + y^2$, $\ y^2 = 9$, $\ y = \pm3$.
2. $y = 3$: $\ x^2 = 25$, $\ x = \pm5$.
3. $y = -3$: $\ x^2 = -11$ — решений нет.

1. Первое уравнение: $x = 6$ или $y = 5$ — система распадается на две.
2. $x = 6$: второе уравнение $\dfrac{y - 2}{y - 2} = 3$. При $y \ne 2$ дробь равна $1$, а не $3$; при $y = 2$ знаменатель равен нулю. Решений нет.
3. $y = 5$: $\ \dfrac{3}{x - 3} = 3$, $\ x - 3 = 1$, $\ x = 4$; знаменатель $4 + 5 - 8 = 1 \ne 0$.
4. Пара $(6;\ 2)$ получается, если «освободиться от знаменателя» без проверки, — но при ней знаменатель равен нулю.

• Решение системы — пара чисел, верная для каждого уравнения; решить — найти все такие пары или доказать, что их нет.
• Подстановка: выразить неизвестное из уравнения первой степени, подставить в другое, решить, найти второе неизвестное.
• Если правые (левые) части равны — приравниваем другие части.
• $A \cdot B = 0$ разбивает систему на две; в дробных уравнениях проверяем знаменатели.