Другие способы решения систем

Основной способ — подстановка. Но часто удобнее сложить (или вычесть) уравнения так, чтобы какое-то слагаемое пропало.

По правилу 4 систему можно заменить равносильной: одно уравнение оставить, а другое заменить суммой обоих.

1. Заменим второе уравнение суммой двух: $y^2 + 6y + 5 = 0$ — слагаемые с $x$ сократились. Корни $y_1 = -1$, $y_2 = -5$.
2. $y = -1$: первое уравнение $x^2 - 2x = 0$, $\ x = 0$ или $x = 2$.
3. $y = -5$: $\ x^2 - 2x - 24 = 0$, $\ x = -4$ или $x = 6$.

1. Сложим уравнения: $6x^2 = 6$, $\ x^2 = 1$, $\ x = \pm1$.
2. Из первого уравнения $y = 4 - 2x^2 = 2$ при обоих $x$.

1. Левая часть второго уравнения — учетверённая левая часть первого: $12x^2 + 8y^2 = 4(3x^2 + 2y^2) = 4 \cdot 50 = 200$.
2. Значит, $50x = 200$, $\ x = 4$.
3. $3 \cdot 16 + 2y^2 = 50$, $\ y^2 = 1$, $\ y = \pm1$.

Если в системе несколько раз повторяются одни и те же выражения, их обозначают новыми буквами — система упрощается.

В системе $\begin{cases} \dfrac{2}{2x^2 - y} + \dfrac{3}{x^2 - 2y} = \dfrac12, \\ \dfrac{2}{2x^2 - y} - \dfrac{1}{x^2 - 2y} = \dfrac{1}{18} \end{cases}$ положим $u = \dfrac{1}{2x^2 - y}$, $\ v = \dfrac{1}{x^2 - 2y}$.

Получаем линейную систему $2u + 3v = \dfrac12$, $\ 2u - v = \dfrac{1}{18}$ с решением $u = \dfrac{1}{12}$, $v = \dfrac19$. Возвращаемся: $2x^2 - y = 12$, $\ x^2 - 2y = 9$. Отсюда $y = -2$, $x = \pm\sqrt5$.

В системе $\begin{cases} x^2 - 7xy + 12y^2 = 0, \\ x^2 - 15xy + 45y^2 = 9 \end{cases}$ первое уравнение раскладывается: $(x - 3y)(x - 4y) = 0$.

Все решения — это решения хотя бы одной из систем: 1) $x = 3y$ и второе уравнение; 2) $x = 4y$ и второе уравнение.

1) $9y^2 - 45y^2 + 45y^2 = 9$, $\ y = \pm1$: решения $(3;\ 1)$, $(-3;\ -1)$. 2) $16y^2 - 60y^2 + 45y^2 = 9$, $\ y = \pm3$: $(12;\ 3)$, $(-12;\ -3)$.

Система $\begin{cases} x^2 - 6x + y^2 + 4y = -13, \\ 5x^2 - 7xy - 21y^2 = 3. \end{cases}$ Выделим в первом уравнении два полных квадрата: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 0$.

Сумма квадратов равна нулю только при $x = 3$, $y = -2$. Осталось проверить второе уравнение: $5 \cdot 9 - 7 \cdot 3 \cdot (-2) - 21 \cdot 4 = 45 + 42 - 84 = 3$ — верно. Решение $(3;\ -2)$.

1. Правые части равны: $(2x + 3)^2 = (3x + 2)^2$, то есть $2x + 3 = 3x + 2$ или $2x + 3 = -(3x + 2)$.
2. $x = 1$ или $x = -1$.
3. $5y = (2x + 3)^2$: при $x = 1$ — $y = 5$, при $x = -1$ — $y = \dfrac15$.

• Сложение (вычитание) уравнений убирает неизвестное или квадраты: $2x^2 + y = 4$ и $4x^2 - y = 2$ дают $6x^2 = 6$.
• Заметили, что одна левая часть кратна другой, — подставляем число вместо целого выражения.
• Повторяющиеся выражения — новые неизвестные; однородное уравнение — разложение на множители.
• $(\ldots)^2 + (\ldots)^2 = 0$ — каждая скобка равна нулю; симметричная система — через $x + y$ и $xy$.