Уравнения и неравенства · 8 класс · урок 3 из 4 · Никольский, «Алгебра 8», § 9–10, п. 9.4

Задачи с помощью систем

Сначала нужно знать: Способы решения систем, задачи на рациональные уравнения
Зачем этот урок: ОГЭ №21: смеси, сплавы, совместная работа — две неизвестные, два условия
Дальше: Графический способ решения систем

Системы рациональных уравнений · урок 3

Два неизвестных — два уравнения

Когда нужна система

В задаче две (или три) неизвестные величины, связанные двумя (тремя) условиями.
Обозначаем каждую неизвестную своей буквой и записываем каждое условие отдельным уравнением.
Решаем систему и отбираем решения по смыслу: время, скорость, масса положительны.

Задачу с двумя неизвестными часто можно решить и одним уравнением, но система записывается проще и в ней труднее ошибиться.

Никольский, п. 9.4Задача 1

Три рабочих, работая вместе, выполняют всю работу за

1

ч. Если первый проработает

1

ч, а затем второй —

4

ч, они тоже выполнят всю работу. Третий выполняет всю работу на

1

ч быстрее первого. За сколько времени может выполнить всю работу каждый рабочий?

Пусть первый выполняет работу за $x$ ч, второй — за $y$ ч, третий — за $z$ ч. За час они делают $\dfrac1x$ , $\dfrac1y$ , $\dfrac1z$ работы.
Условия: $\dfrac1x + \dfrac1y + \dfrac1z = 1$ ; $\ \dfrac1x + 4 \cdot \dfrac1y = 1$ ; $\ x = z + 1$ .
Из третьего $z = x - 1$ , из второго $\dfrac1y = \dfrac14\left(1 - \dfrac1x\right)$ . Подставляем в первое: $\dfrac1x + \dfrac14\left(1 - \dfrac1x\right) + \dfrac{1}{x - 1} = 1$ , то есть $\dfrac{3x^2 - 10x + 3}{4x(x - 1)} = 0$ .
$3x^2 - 10x + 3 = 0$ : $x = 3$ или $x = \dfrac13$ . При $x = \dfrac13$ получаем $y = -2$ — отрицательное время не подходит. При $x = 3$ : $y = 6$ , $z = 2$ .

Ответ: 3 ч, 6 ч и 2 ч

Никольский, № 552, 553Задача 2

а) Сумма двух чисел равна

3

, а сумма их квадратов равна

65

. Найдите эти числа. б) Периметр прямоугольника равен

25

м, а площадь —

34\ \text{м}^2

. Определите стороны прямоугольника.

а) $x + y = 3$ , $\ x^2 + y^2 = 65$ . $\ 2xy = (x + y)^2 - (x^2 + y^2) = 9 - 65 = -56$ , $\ xy = -28$ . По теореме Виета числа — корни $t^2 - 3t - 28 = 0$ : $\ 7$ и $-4$ .
б) Стороны $x$ и $y$ : $\ 2(x + y) = 25$ , $\ xy = 34$ . Тогда $x$ и $y$ — корни $t^2 - 12{,}5t + 34 = 0$ , $\ D = 156{,}25 - 136 = 20{,}25 = 4{,}5^2$ , $\ t = \dfrac{12{,}5 \pm 4{,}5}{2}$ .

Ответ: а) $7$ и $-4$ ; б) $8{,}5$ м и $4$ м

Задачи на смеси и сплавы

Главное правило: масса вещества в смеси равна сумме масс этого вещества в частях. Проценты переводим в доли:

65\% = 0{,}65

ОГЭ, задание 21Задача 3

Имеются два сосуда, содержащие

12

кг и

8

кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий

65\%

кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать

60\%

кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Пусть концентрации растворов $a$ и $b$ (доли). Слили всё: $12a + 8b = 0{,}65 \cdot 20 = 13$ .
Слили по $m$ кг: $ma + mb = 0{,}6 \cdot 2m$ , то есть $a + b = 1{,}2$ .
Из второго $a = 1{,}2 - b$ ; подставляем: $14{,}4 - 12b + 8b = 13$ , $\ b = 0{,}35$ .
Кислоты во втором растворе $8 \cdot 0{,}35 = 2{,}8$ кг.

Ответ: 2,8

ОГЭ, задание 21Задача 4

Свежие фрукты содержат

80\%

воды, а высушенные —

28\%

. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления

80

кг высушенных фруктов?

Ответ: 288

Главное

Сколько неизвестных — столько букв и столько уравнений.
Работа: за единицу времени делается $\dfrac1t$ работы; вся работа $= 1$ .
Смеси: масса вещества в смеси равна сумме масс в частях; при сушке не меняется сухое вещество.
Решения системы отбираем по смыслу задачи.

Все уроки станции «Системы рациональных уравнений»