Уравнения и неравенства · 8 класс · урок 4 из 4 · Никольский, «Алгебра 8», § 9–10, § 10

Графический способ

Выход к заданиям: ОГЭ №20, ОГЭ №21, ЕГЭ №11

Сначала нужно знать: Графики линейной и квадратичной функций, способы решения систем
Зачем этот урок: ОГЭ №22: сколько общих точек у прямой и параболы; проверка решений системы картинкой
Дальше: Неравенства (9 класс)

Системы рациональных уравнений · урок 4

Графический способ решения систем

Решение системы — общая точка графиков

Идея

Выразим $y$ через $x$ в каждом уравнении системы и построим графики в одной системе координат. Каждая общая точка графиков даёт решение системы: её координаты удовлетворяют обоим уравнениям.

По рисунку видно, есть ли решения и сколько их. Но координаты точек рисунок даёт приближённо — чтобы убедиться, что решение найдено точно, его подставляют в каждое уравнение.

Никольский, п. 10.1Пример 1

Решите графическим способом систему

\begin{cases} 3x - y + 2 = 0, \\ x + 2y + 3 = 0. \end{cases}

Выразим $y$ : $y = 3x + 2$ — прямая через $(0;\ 2)$ и $(1;\ 5)$ ; $\ y = -\dfrac12 x - \dfrac32$ — через $(1;\ -2)$ и $\left(0;\ -\dfrac32\right)$ .
Прямые пересекаются в точке $(-1;\ -1)$ . Проверка: $-3 + 1 + 2 = 0$ , $\ -1 - 2 + 3 = 0$ — решение точное.
Угловые коэффициенты разные ( $3 \ne -\dfrac12$ ), поэтому точка пересечения единственная.

Ответ: $(-1;\ -1)$

Сколько решений у системы двух линейных уравнений

Угловые коэффициенты разные — прямые пересекаются: одно решение.
Коэффициенты равны, а свободные члены разные — прямые параллельны: решений нет. Пример: $y = x + 1$ и $y = x + 2$ .
Уравнения задают одну и ту же прямую — решений бесконечно много.

Никольский, п. 10.3Пример 2

Решите графическим способом систему

\begin{cases} x - y - 3 = 0, \\ x^2 - 2x = y + 3. \end{cases}

$y = x - 3$ — прямая через $(3;\ 0)$ и $(0;\ -3)$ .
$y = x^2 - 2x - 3$ — парабола с вершиной $x_0 = 1$ , $y_0 = -4$ ; точки $(-1;\ 0)$ , $(0;\ -3)$ , $(2;\ -3)$ , $(3;\ 0)$ .
Общие точки $(0;\ -3)$ и $(3;\ 0)$ ; подстановкой убеждаемся, что обе пары — решения.

Ответ: $(0;\ -3)$ , $(3;\ 0)$

Никольский, п. 10.3Пример 3

Решите графическим способом систему

\begin{cases} y = 2x^2 + 8x + 7, \\ y = -x^2 - 2x + 4. \end{cases}

Первая парабола: вершина $(-2;\ -1)$ , ветви вверх. Вторая: вершина $(-1;\ 5)$ , ветви вниз.
Параболы пересекаются в двух точках. Первая читается точно: $(-3;\ 1)$ — подстановка подтверждает.
Вторая по рисунку примерно $(-0{,}3;\ 4{,}5)$ . Точно — из уравнения $2x^2 + 8x + 7 = -x^2 - 2x + 4$ , то есть $3x^2 + 10x + 3 = 0$ : $x = -\dfrac13$ , $y = \dfrac{41}{9}$ .

Ответ: $(-3;\ 1)$ , $\left(-\dfrac13;\ \dfrac{41}{9}\right)$

ОГЭ, задание 22Пример 4

Найдите все значения

k

, при каждом из которых прямая

y = kx

имеет с графиком функции

y = x^2 + 4

ровно одну общую точку.

Общие точки — решения системы $y = kx$ , $y = x^2 + 4$ , то есть корни уравнения $x^2 - kx + 4 = 0$ .
Одна общая точка — один корень: $D = k^2 - 16 = 0$ , $\ k = \pm4$ .
При $k = 4$ точка касания $(2;\ 8)$ ; при $k = -4$ точка касания $(-2;\ 8)$ .

Ответ: $-4;\ 4$

ОГЭ, задание 22Пример 5

При каких отрицательных значениях

k

прямая

y = kx - 4

имеет с параболой

y = x^2 + 2x

ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки.

$x^2 + 2x = kx - 4$ , то есть $x^2 + (2 - k)x + 4 = 0$ . Одна точка — $D = (2 - k)^2 - 16 = 0$ .
$2 - k = \pm4$ : $\ k = -2$ или $k = 6$ . Отрицательное — $k = -2$ .
$x^2 + 4x + 4 = 0$ , $\ x = -2$ , $\ y = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) = 0$ .

Ответ: $k = -2$ , точка $(-2;\ 0)$

Главное

Решения системы — общие точки графиков её уравнений.
Рисунок показывает число решений и приближённые значения; точные — подстановкой или вычислением.
Две прямые: разные $k$ — одна точка, равные $k$ — нет точек или прямые совпадают.
«Ровно одна общая точка» прямой и параболы — дискриминант получившегося квадратного уравнения равен нулю.

Графический способ

Все уроки станции «Системы рациональных уравнений»