Первый признак равенства треугольников

Равные треугольники можно совместить наложением: совместятся попарно вершины, стороны и углы. Если два треугольника равны, то стороны и углы одного соответственно равны сторонам и углам другого.

В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, и обратно: против $AB$ и $A_1B_1$ лежат равные углы $C$ и $C_1$.

Запись: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ — порядок букв показывает, какие вершины совмещаются.

Равенство треугольников можно установить без наложения, сравнивая лишь некоторые их элементы. Это важно на практике: два земельных участка друг на друга не положишь.

Утверждение, справедливость которого устанавливается рассуждениями, называется теоремой, а сами рассуждения — доказательством. «Вертикальные углы равны» — уже доказанная нами теорема.

Признак равенства — это теорема, которая по нескольким равным элементам позволяет сделать вывод о равенстве треугольников целиком.

Доказательство. Пусть $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$. Так как $\angle A = \angle A_1$, треугольник $ABC$ можно наложить на $A_1B_1C_1$ так, что $A$ совместится с $A_1$, а стороны $AB$ и $AC$ лягут на лучи $A_1B_1$ и $A_1C_1$.

Поскольку $AB = A_1B_1$ и $AC = A_1C_1$, совместятся точки $B$ и $B_1$, $C$ и $C_1$, а значит, и стороны $BC$ и $B_1C_1$. Треугольники полностью совместятся — они равны.

Утверждение «Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны» — неверно.

Признак требует равенства угла между этими сторонами. Две рейки, скреплённые гвоздём, можно раздвигать: стороны те же, угол меняется — получаются разные треугольники.

Читая утверждения №19, проверяйте каждое слово признака: «между ними», «прилежащих», «соответственно».

1. а) $AC = 34$ см, $BC = 34 - 10 = 24$ см; $\ P = 17 + 34 + 24 = 75$ см.
2. б) Две другие стороны в сумме $48 - 18 = 30$ см. Пусть меньшая $x$, большая $x + 4{,}6$: $\ 2x + 4{,}6 = 30$, $x = 12{,}7$.
3. Стороны $12{,}7$ см и $17{,}3$ см.

• Треугольник: три вершины не на одной прямой, три стороны, три угла; периметр — сумма сторон.
• В равных треугольниках все соответственные элементы равны; против равных сторон — равные углы.
• Первый признак: две стороны и угол между ними.
• Двух сторон без угла между ними для равенства мало.