Медианы, биссектрисы и высоты

Существование. Отложим от луча $BC$ угол $MBC$, равный углу $ABC$. Перегнём рисунок по прямой $BC$: луч $BA$ ляжет на луч $BM$, точка $A$ — на некоторую точку $A_1$. Пусть $H$ — точка пересечения $AA_1$ и $BC$.

При перегибании луч $HA$ совмещается с лучом $HA_1$, поэтому $\angle 1 = \angle 2$. Но углы $1$ и $2$ смежные, значит, каждый равен $90^\circ$: $AH \perp BC$.

Единственность. Если бы из $A$ проходил ещё один перпендикуляр $AH_1$, то две прямые $AH$ и $AH_1$, перпендикулярные к $BC$, пересекались бы в точке $A$. А мы доказали, что так не бывает.

• Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
• Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла треугольника от вершины до точки противоположной стороны.
• Высота — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.
• У любого треугольника три медианы, три биссектрисы и три высоты.

У остроугольного треугольника все высоты лежат внутри. Если угол тупой, две высоты падают на продолжения сторон — поэтому в определении сказано «к прямой, содержащей сторону».

Замечательные свойства: медианы пересекаются в одной точке, биссектрисы — в одной точке, высоты или их продолжения — тоже в одной точке. Это докажем в 8 классе.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны — боковые, третья — основание.

Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним. Равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного (при любом выборе основания).

1. а) Основание $x$, боковые $2x$: $\ x + 2x + 2x = 50$, $x = 10$. Стороны $10$, $20$, $20$ см.
2. б) $BC = 45 : 3 = 15$ см (сторона равностороннего).
3. $AB = AC = \dfrac{40 - 15}{2} = 12{,}5$ см.

1. $P_{ABC} = AB + AC + BC = 2AB + 2BM = 32$, так как $AC = AB$ и $BC = 2BM$. Значит, $AB + BM = 16$.
2. $P_{ABM} = AB + BM + AM = 24$, откуда $AM = 24 - 16 = 8$ см.

1. Биссектриса к основанию — медиана: $KF = DK : 2 = 8$ см.
2. $\angle DEK = 2 \cdot 43^\circ = 86^\circ$.
3. Биссектриса к основанию — высота: $\angle EFD = 90^\circ$.

1. Внешний угол при вершине $C$ — смежный с углом $C$ треугольника: $\angle BCA = 180^\circ - 123^\circ = 57^\circ$.
2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle BAC = \angle BCA = 57^\circ$.

• Из точки вне прямой проходит ровно один перпендикуляр к этой прямой.
• Медиана — к середине стороны, биссектриса — делит угол пополам, высота — перпендикуляр к прямой стороны.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• Биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию, совпадают.