Задачи на построение

Предложение, разъясняющее смысл названия, называется определением.

Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Данная точка — центр, отрезок от центра до точки окружности — радиус; все радиусы равны.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, — хорда. Хорда через центр — диаметр: он вдвое больше радиуса, центр — его середина.

Любые две точки окружности делят её на две части — дуги. Чтобы различать дуги с концами $A$ и $B$, ставят третью точку: $\smile ALB$ и $\smile AMB$.

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

Окружность чертят циркулем, на местности — верёвкой, натянутой от колышка.

• Окружность с центром в вершине $A$ пересекает стороны угла в $B$ и $C$.
• Окружности радиуса $BC$ с центрами $B$ и $C$ пересекаются в точке $E$ внутри угла. Луч $AE$ — биссектриса.
• Почему: $\triangle ACE = \triangle ABE$ по трём сторонам ($AE$ общая, $AC = AB$, $CE = BE$), значит, $\angle CAE = \angle BAE$.

• На прямой $a$ от точки $M$ откладываем равные отрезки $MA$ и $MB$.
• Окружности радиуса $AB$ с центрами $A$ и $B$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Прямая $MP$ — искомая.
• Почему: $PA = PB$, треугольник $PAB$ равнобедренный, $PM$ — его медиана к основанию, а значит, и высота: $PM \perp a$.

• Окружности радиуса $AB$ с центрами $A$ и $B$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Прямая $PQ$ пересекает $AB$ в точке $O$ — середине.
• Почему: $\triangle APQ = \triangle BPQ$ по трём сторонам, поэтому $\angle 1 = \angle 2$.
• Тогда $PO$ — биссектриса равнобедренного треугольника $APB$, а значит, и медиана: $AO = OB$.

• Окружность с центром $M$ пересекает прямую $a$ в точках $A$ и $B$.
• Окружности с центрами $A$ и $B$, проходящие через $M$, пересекаются ещё в точке $N$. Прямая $MN$ — искомая.
• Почему: $\triangle AMN = \triangle BMN$ по трём сторонам, поэтому $\angle 1 = \angle 2$, и $MC$ — биссектриса равнобедренного $\triangle AMB$, а значит, и высота: $MN \perp a$.

1. $\triangle MOP = \triangle KOP$ по трём сторонам: $OM = OK$ (радиусы), $MP = PK$, $OP$ — общая.
2. Значит, $\angle POM = \angle POK$. Эти углы смежные ($M$, $O$, $K$ на одной прямой), в сумме $180^\circ$.
3. $\angle POM = 90^\circ$.