Геометрия · 7 класс · урок 3 из 4 · Атанасян, «Геометрия 7–9», гл. II, § 3

Второй и третий признаки равенства

Выход к заданиям: ОГЭ №15, ОГЭ №19, ОГЭ №24

Сначала нужно знать: Медианы, биссектрисы и высоты
Зачем этот урок: ОГЭ №19: признаки равенства треугольников и почему четырёхугольник по сторонам не определяется
Дальше: Окружность. Задачи на построение

Треугольники · урок 3

Сторона и два угла; три стороны

Второй признак

Доказательство. Пусть $AB = A_1B_1$ , $\angle A = \angle A_1$ , $\angle B = \angle B_1$ . Наложим $\triangle ABC$ на $\triangle A_1B_1C_1$ так, чтобы $A$ совместилась с $A_1$ , сторона $AB$ — с $A_1B_1$ , а $C$ и $C_1$ оказались по одну сторону от $A_1B_1$ .

Так как $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$ , сторона $AC$ ляжет на луч $A_1C_1$ , а $BC$ — на луч $B_1C_1$ . Вершина $C$ — общая точка сторон $AC$ и $BC$ — окажется на обоих лучах, то есть совместится с их общей точкой $C_1$ . Треугольники совместятся.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак

Здесь наложение «как есть» не годится: ни одного равного угла мы не знаем. Поэтому треугольник прикладывают к другому и сводят дело к первому признаку.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство третьего признака

Приложим $\triangle ABC$ к $\triangle A_1B_1C_1$ так, чтобы $A$ совместилась с $A_1$ , $B$ — с $B_1$ , а $C$ и $C_1$ оказались по разные стороны от прямой $A_1B_1$ . Пусть луч $C_1C$ проходит внутри угла $A_1C_1B_1$ (другие случаи разбираются так же).

$AC = A_1C_1$ и $BC = B_1C_1$ , поэтому треугольники $A_1C_1C$ и $B_1C_1C$ равнобедренные: $\angle 1 = \angle 2$ , $\angle 3 = \angle 4$ .

Складывая, $\angle A_1CB_1 = \angle A_1C_1B_1$ , то есть $\angle C = \angle C_1$ . Итак, $AC = A_1C_1$ , $BC = B_1C_1$ , $\angle C = \angle C_1$ — треугольники равны по первому признаку.

Треугольник — жёсткая фигура

Две рейки, скреплённые гвоздём, — нежёсткая конструкция: угол между ними можно менять. Скрепим концы третьей рейкой — получится треугольник, и ни один угол изменить уже нельзя.

Почему? Иначе получился бы новый треугольник с теми же тремя сторонами, не равный исходному, — а по третьему признаку он обязан быть равен.

Жёсткостью треугольника пользуются постоянно: подпорка к столбу, кронштейн, фермы мостов и крыш.

Ловушка ОГЭ №19: «Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого, то четырёхугольники равны» — неверно. Четырёхугольник из четырёх реек нежёсткий: квадрат можно «сложить» в ромб с теми же сторонами.

Три признака вместе

Первый (по двум сторонам и углу между ними): $AB = A_1B_1$ , $AC = A_1C_1$ , $\angle A = \angle A_1$ .
Второй (по стороне и двум прилежащим углам): $AB = A_1B_1$ , $\angle A = \angle A_1$ , $\angle B = \angle B_1$ .
Третий (по трём сторонам): $AB = A_1B_1$ , $BC = B_1C_1$ , $CA = C_1A_1$ .
Схема любого доказательства: выбрать пару треугольников → найти три равных элемента (общая сторона, вертикальные углы, равные по условию) → назвать признак → вывести нужное равенство из равенства треугольников.

Атанасян, № 121Пример 1

Отрезки

AB

CD

пересекаются в середине

O

отрезка

AB

\angle OAD = \angle OBC

. а) Докажите, что

\triangle CBO = \triangle DAO

. б) Найдите

BC

CO

, если

CD = 26

см,

AD = 15

см.

а) $OA = OB$ ( $O$ — середина $AB$ ), $\angle OAD = \angle OBC$ по условию, $\angle AOD = \angle BOC$ как вертикальные.
Сторона и два прилежащих к ней угла — $\triangle CBO = \triangle DAO$ по второму признаку.
б) $BC = AD = 15$ см, $CO = DO$ , а $CO + DO = CD = 26$ см, значит, $CO = 13$ см.

Ответ: $BC = 15$ см, $CO = 13$ см

Атанасян, № 123Пример 2

На биссектрисе угла

A

взята точка

D

, а на сторонах этого угла — точки

B

C

такие, что

\angle ADB = \angle ADC

. Докажите, что

BD = CD

Рассмотрим $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ : $AD$ — общая сторона.
$\angle BAD = \angle CAD$ — $AD$ лежит на биссектрисе; $\angle ADB = \angle ADC$ по условию. Это углы, прилежащие к общей стороне $AD$ .
По второму признаку $\triangle ABD = \triangle ACD$ , поэтому $BD = CD$ .

Ответ: $BD = CD$

Атанасян, № 136Пример 3

На рисунке

AB = AC

BD = DC

\angle BAC = 50^\circ

. Найдите

\angle CAD

$\triangle ABD = \triangle ACD$ по третьему признаку: $AB = AC$ , $BD = DC$ , $AD$ — общая.
Значит, $\angle BAD = \angle CAD$ , а вместе они составляют $\angle BAC = 50^\circ$ .
$\angle CAD = 50^\circ : 2 = 25^\circ$ .

Ответ: $25^\circ$

Главное

Второй признак: сторона и два прилежащих к ней угла.
Третий признак: три стороны; доказывается прикладыванием и сводится к первому.
Треугольник — жёсткая фигура; четырёхугольник по сторонам не определяется.
В задаче ищите общую сторону и вертикальные углы — это готовые равные элементы.

Второй и третий признаки равенства

Все уроки станции «Треугольники»