Геометрия · 8 класс · урок 1 из 3 · Атанасян, «Геометрия 7–9», гл. VI, § 1

Площадь многоугольника

Выход к заданиям: ОГЭ №1, ОГЭ №2, ОГЭ №3, ОГЭ №4, ОГЭ №5, ОГЭ №15, ОГЭ №17, ОГЭ №18, ОГЭ №19, ОГЭ №23, ОГЭ №24, ОГЭ №25, ЕГЭ №1, ЕГЭ №18

Сначала нужно знать: Прямоугольник, ромб, квадрат
Зачем этот урок: ОГЭ №18: площадь фигуры на клетчатой бумаге — разбить на прямоугольники и сложить
Дальше: Площади параллелограмма, треугольника и трапеции

Площадь. Теорема Пифагора · урок 1

Что такое площадь и почему у прямоугольника S = ab

Понятие площади

Площадь многоугольника — величина части плоскости, которую он занимает. За единицу площади берут квадрат со стороной, равной единице длины: $1$ см $^2$ — квадрат со стороной $1$ см; так же $1$ мм $^2$ , $1$ м $^2$ , $1$ км $^2$ .

Площадь выражается положительным числом: сколько раз единица площади и её части укладываются в многоугольнике. В прямоугольнике $3 \times 2$ см квадратный сантиметр укладывается $6$ раз — его площадь $6$ см $^2$ .

Если единица не укладывается целиком, берут её доли ( $1$ мм $^2 = 0{,}01$ см $^2$ ) — так получают приближённые значения. На практике же измеряют несколько отрезков и считают площадь по формулам.

Свойства площадей

1°. Равные многоугольники имеют равные площади.
2°. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников (без общих внутренних точек), то его площадь равна сумме их площадей: $S = S_1 + S_2 + S_3$ .
3°. Площадь квадрата равна квадрату его стороны: $S = a^2$ . Квадрат со стороной $2{,}1$ см содержит $4$ см $^2$ и $41$ мм $^2$ : $4{,}41 = 2{,}1^2$ .
Свойства 1° и 2° — основные свойства площадей; такими же свойствами обладают длины отрезков.

Площадь квадрата: почему a²

$a = \dfrac1n$ . Квадрат со стороной $1$ делим на $n^2$ равных квадратиков со стороной $\dfrac1n$ : площадь каждого $\dfrac{1}{n^2} = a^2$ .
$a$ — конечная десятичная дробь с $n$ знаками после запятой: $m = a \cdot 10^n$ — целое. Делим квадрат на $m^2$ квадратиков со стороной $\dfrac{1}{10^n}$ : $S = m^2 \cdot \dfrac{1}{10^{2n}} = a^2$ .
$a$ — бесконечная дробь. Обрезав её до $n$ знаков ( $a_n$ ), получаем $a_n^2 \le S \le \left(a_n + \dfrac{1}{10^n}\right)^2$ . При неограниченном росте $n$ границы сколь угодно близки к $a^2$ , значит, $S = a^2$ .

Площадь прямоугольника

Доказательство. Достроим прямоугольник со сторонами $a$ , $b$ до квадрата со стороной $a + b$ . Его площадь $(a + b)^2$ .

Квадрат составлен из двух равных прямоугольников площадью $S$ и квадратов $a^2$ и $b^2$ : $(a + b)^2 = 2S + a^2 + b^2$ .

Раскрыв скобки, $a^2 + 2ab + b^2 = 2S + a^2 + b^2$ , откуда $S = ab$ .

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:

S = ab

Единицы площади

$1$ м $^2 = 100$ дм $^2 = 10\,000$ см $^2$ ; $\ 1$ см $^2 = 100$ мм $^2$ .
Ар (сотка) $= 100$ м $^2$ — квадрат $10 \times 10$ м; гектар $= 10\,000$ м $^2$ — квадрат $100 \times 100$ м.
$1$ км $^2 = 1\,000\,000$ м $^2 = 100$ га.
Переходя к квадратным единицам, переводной множитель возводят в квадрат: в $1$ м $100$ см, в $1$ м $^2$ — $100^2$ см $^2$ .

Атанасян, № 453, 454Пример 1

а) Как изменится площадь прямоугольника, если каждую сторону увеличить в два раза? если одну пару сторон увеличить в два раза, а другую уменьшить в два раза? б) Найдите стороны прямоугольника, если его площадь

9

^2

, а периметр

12

м.

а) $(2a)(2b) = 4ab$ — увеличится в $4$ раза; $(2a)\left(\dfrac b2\right) = ab$ — не изменится.
б) $a + b = 6$ , $ab = 9$ . Тогда $a(6 - a) = 9$ , $a^2 - 6a + 9 = 0$ , $(a - 3)^2 = 0$ : $a = b = 3$ м — это квадрат.

Ответ: а) в $4$ раза; не изменится; б) $3$ м и $3$ м

Атанасян, № 455, 458Пример 2

а) Пол

5{,}5 \times 6

м покрывают паркетом: дощечка

30 \times 5

см. Сколько дощечек нужно? б) Два участка огорожены заборами одинаковой длины: прямоугольник

220 \times 160

м и квадрат. Площадь какого больше и на сколько?

а) Площадь пола $33$ м $^2$ , дощечки $0{,}3 \cdot 0{,}05 = 0{,}015$ м $^2$ : $33 : 0{,}015 = 2200$ дощечек.
б) Длина забора $2(220 + 160) = 760$ м, сторона квадрата $190$ м.
$190^2 = 36\,100$ м $^2$ , $\ 220 \cdot 160 = 35\,200$ м $^2$ : площадь квадрата больше на $900$ м $^2$ .

Ответ: а) $2200$ ; б) квадрата, на $900$ м $^2$

ОГЭ, задание 18Пример 3

На клетчатой бумаге с размером клетки

1 \times 1

изображена фигура. Найдите её площадь.

Разобьём фигуру на прямоугольники: левая полоса $2 \times 4 = 8$ , верхний выступ $1 \times 1 = 1$ , нижний выступ $2 \times 1 = 2$ .
По свойству 2° площадь равна $8 + 1 + 2 = 11$ .
Проверка: квадрат $4 \times 4 = 16$ минус вырезанные клетки $1 + 4 = 5$ — тоже $11$ .

Ответ: 11

Главное

Площадь — положительное число; единица — квадрат со стороной $1$ .
Равные фигуры — равные площади; площадь составной фигуры — сумма площадей частей.
$S_{\text{квадрата}} = a^2$ , $\ S_{\text{прямоугольника}} = ab$ .
На клетчатой бумаге: разбей на прямоугольники или вычти из охватывающего прямоугольника лишнее.

Площадь многоугольника

Все уроки станции «Площадь. Теорема Пифагора»