Геометрия · 8 класс · урок 3 из 3 · Атанасян, «Геометрия 7–9», гл. VI, § 3

Теорема Пифагора

Выход к заданиям: ОГЭ №1, ОГЭ №2, ОГЭ №3, ОГЭ №4, ОГЭ №5, ОГЭ №15, ОГЭ №17, ОГЭ №18, ОГЭ №19, ОГЭ №23, ОГЭ №24, ОГЭ №25, ЕГЭ №1, ЕГЭ №18

Сначала нужно знать
Площади параллелограмма, треугольника и трапеции
Зачем этот урок
ОГЭ №15: гипотенуза по катетам, катет по гипотенузе; высота равнобедренного и равностороннего треугольника
Дальше
Подобные треугольники
Площадь. Теорема Пифагора · урок 3
Теорема Пифагора
Важнейшая теорема геометрии и обратная к ней
Теорема Пифагора
c²abc

Доказательство. Достроим треугольник с катетами aa, bb и гипотенузой cc до квадрата со стороной a+ba + b, как на рисунке. Его площадь (a+b)2(a + b)^2.

Квадрат составлен из четырёх таких треугольников площадью 12ab\dfrac12 ab и квадрата со стороной cc: (a+b)2=4⋅12ab+c2(a + b)^2 = 4 \cdot \dfrac12 ab + c^2.

a2+2ab+b2=2ab+c2a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2, откуда c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2.
Как пользоваться
c=a2+b2,a=c2−b2c = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad a = \sqrt{c^2 - b^2}
  • Диагональ квадрата со стороной aa: d=a2+a2=a2d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt2.
  • Высота равностороннего треугольника со стороной aa: h=a2−(a2)2=a32h = \sqrt{a^2 - \left(\dfrac a2\right)^2} = \dfrac{a\sqrt3}{2}; его площадь S=a234S = \dfrac{a^2\sqrt3}{4} (№ 489).
  • Высота равнобедренного к основанию bb при боковой aa: h=a2−(b2)2h = \sqrt{a^2 - \left(\dfrac b2\right)^2}.
  • История: соотношение встречается в вавилонских текстах за 12001200 лет до Пифагора (VI в. до н. э.); сегодня известно больше ста доказательств.
Обратная теорема

Доказательство. Пусть AB2=AC2+BC2AB^2 = AC^2 + BC^2. Возьмём прямоугольный △A1B1C1\triangle A_1B_1C_1 с катетами A1C1=ACA_1C_1 = AC, B1C1=BCB_1C_1 = BC.

По теореме Пифагора A1B12=AC2+BC2=AB2A_1B_1^2 = AC^2 + BC^2 = AB^2, значит, A1B1=ABA_1B_1 = AB.

△ABC=△A1B1C1\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 по трём сторонам, поэтому ∠C=∠C1=90∘\angle C = \angle C_1 = 90^\circ.

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
Пифагоровы треугольники
ABC435
  • Прямоугольные треугольники с целыми сторонами — пифагоровы: 3,4,53, 4, 5;  5,12,13\ 5, 12, 13;  8,15,17\ 8, 15, 17;  7,24,25\ 7, 24, 25 и кратные им (6,8,106, 8, 10; 9,12,159, 12, 15…).
  • Все они получаются по формулам a=2kmna = 2kmn, b=k(m2−n2)b = k(m^2 - n^2), c=k(m2+n2)c = k(m^2 + n^2), где m>nm > n.
  • Треугольник 3,4,53, 4, 5 называют египетским: верёвку с 1212 равными частями растягивали треугольником 3,4,53, 4, 5 — угол между сторонами 33 и 44 получался прямым.
Атанасян, № 483, 487, 488Пример 1
а) Найдите гипотенузу по катетам 55 и 66; 77 и 77. б) Боковая сторона равнобедренного треугольника 1717 см, основание 1616 см. Найдите высоту к основанию. в) Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной 66 см.
  1. а) 25+36=61\sqrt{25 + 36} = \sqrt{61};  49+49=72\ \sqrt{49 + 49} = 7\sqrt2.
  2. б) Высота делит основание пополам: h=172−82=289−64=15h = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = 15 см.
  3. в) h=36−9=27=33h = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt3 см.
Ответ: а) 61\sqrt{61}; 727\sqrt2; б) 1515 см; в) 333\sqrt3 см
Атанасян, № 493, 495Пример 2
а) Найдите сторону и площадь ромба с диагоналями 1010 и 2424 см. б) Найдите площадь трапеции ABCDABCD с основаниями AB=10AB = 10 см, CD=20CD = 20 см и боковыми сторонами BC=DA=13BC = DA = 13 см.
  1. а) Половинки диагоналей 55 и 1212 — катеты: сторона 25+144=13\sqrt{25 + 144} = 13 см. S=12⋅10⋅24=120S = \dfrac12 \cdot 10 \cdot 24 = 120 см2^2.
  2. б) Трапеция равнобедренная: высота отсекает от большего основания (20−10):2=5(20 - 10) : 2 = 5 см.
  3. h=132−52=12h = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12 см, S=10+202⋅12=180S = \dfrac{10 + 20}{2} \cdot 12 = 180 см2^2.
Ответ: а) 1313 см, 120120 см2^2; б) 180180 см2^2
Атанасян, № 498Пример 3
Является ли треугольник прямоугольным, если его стороны: а) 5,6,75, 6, 7; б) 9,12,159, 12, 15; в) 11,9,1311, 9, 13; г) 10,24,2610, 24, 26?
  1. Проверяем: квадрат большей стороны против суммы квадратов двух других.
  2. а) 49≠25+36=6149 \ne 25 + 36 = 61 — нет. б) 225=81+144225 = 81 + 144 — да.
  3. в) 169≠81+121=202169 \ne 81 + 121 = 202 — нет. г) 676=100+576676 = 100 + 576 — да.
Ответ: а) нет; б) да; в) нет; г) да
ОГЭ, задание 15Пример 4
Два катета прямоугольного треугольника равны 1616 и 3030. Найдите гипотенузу этого треугольника.
  1. c=162+302=256+900=1156=34c = \sqrt{16^2 + 30^2} = \sqrt{256 + 900} = \sqrt{1156} = 34.
  2. Быстрее: 16,30,3416, 30, 34 — это тройка 8,15,178, 15, 17, умноженная на 22.
Ответ: 34
ОГЭ, задание 15Пример 5
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 3030 и 5050 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
  1. b=502−302=2500−900=1600=40b = \sqrt{50^2 - 30^2} = \sqrt{2500 - 900} = \sqrt{1600} = 40.
  2. Быстрее: египетский треугольник 3,4,53, 4, 5, умноженный на 1010.
Ответ: 40
Главное
  • c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2 — доказывается сравнением площадей.
  • Если c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2, треугольник прямоугольный (обратная теорема).
  • Диагональ квадрата a2a\sqrt2; высота равностороннего a32\dfrac{a\sqrt3}{2}.
  • Узнавайте тройки 3,4,53, 4, 5; 5,12,135, 12, 13; 8,15,178, 15, 17; 7,24,257, 24, 25 и кратные — считать почти не придётся.

Все уроки станции «Площадь. Теорема Пифагора»

  1. Площадь многоугольника
  2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции
  3. Теорема Пифагора