Площади параллелограмма, треугольника и трапеции

Одну сторону параллелограмма называют основанием, перпендикуляр из любой точки противоположной стороны к прямой основания — высотой.

Доказательство. Проведём высоты $BH$ и $CK$. Трапеция $ABCK$ составлена из параллелограмма $ABCD$ и $\triangle DCK$, а также из прямоугольника $HBCK$ и $\triangle ABH$.

$\triangle DCK = \triangle ABH$ по гипотенузе и острому углу ($AB = CD$, $\angle 1 = \angle 2$ — соответственные). Значит, $S_{ABCD} = S_{HBCK} = BC \cdot BH = AD \cdot BH$.

Доказательство. Достроим $\triangle ABC$ до параллелограмма $ABDC$. $\triangle ABC = \triangle DCB$ по трём сторонам, поэтому $S_{ABC} = \dfrac12 S_{ABDC} = \dfrac12 AB \cdot CH$.

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $S = \dfrac12 ab$.

Следствие 2. Если высоты двух треугольников равны, их площади относятся как основания. Например, медиана делит треугольник на два равновеликих (№ 474).

Доказательство. Наложим $\triangle A_1B_1C_1$ на $\triangle ABC$ так, чтобы углы $A$ совпали. $\triangle ABC$ и $\triangle AB_1C$ имеют общую высоту из $C$: $\dfrac{S_{ABC}}{S_{AB_1C}} = \dfrac{AB}{AB_1}$. $\triangle AB_1C$ и $\triangle AB_1C_1$ — общую высоту из $B_1$: $\dfrac{S_{AB_1C}}{S_{AB_1C_1}} = \dfrac{AC}{AC_1}$. Перемножим.

Высота трапеции — перпендикуляр из точки одного основания к прямой другого.

Доказательство. Диагональ $BD$ делит трапецию на $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$. Их высоты $BH$ и $DH_1$ равны высоте трапеции.

$S = \dfrac12 AD \cdot BH + \dfrac12 BC \cdot BH = \dfrac{AD + BC}{2} \cdot BH$.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам: они разбивают ромб на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами $\dfrac{d_1}{2}$ и $\dfrac{d_2}{2}$.

$S = 4 \cdot \dfrac12 \cdot \dfrac{d_1}{2} \cdot \dfrac{d_2}{2} = \dfrac12 d_1 d_2$ (№ 476).

Так же для любого выпуклого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями: $S = \dfrac12 d_1 d_2$ (№ 478). У ромба есть и формула параллелограмма: $S = a \cdot h$.

1. Основания горизонтальны: верхнее $2$ клетки, нижнее $3$ клетки. Высота — расстояние между ними, $4$ клетки.
2. $S = \dfrac{2 + 3}{2} \cdot 4 = 10$ см$^2$.