Геометрия · 8 класс · урок 1 из 4 · Атанасян, «Геометрия 7–9», гл. VIII, § 1

Касательная к окружности

Выход к заданиям: ОГЭ №16, ОГЭ №19, ОГЭ №23, ОГЭ №24, ОГЭ №25, ЕГЭ №1, ЕГЭ №18

Сначала нужно знать: Соотношения в прямоугольном треугольнике
Зачем этот урок: ОГЭ №16: касательная перпендикулярна радиусу, отрезки касательных из одной точки равны
Дальше: Центральные и вписанные углы

Окружность · урок 1

Прямая и окружность: секущая, касательная, без общих точек

Взаимное расположение прямой и окружности

Пусть $d$ — расстояние от центра $O$ до прямой $p$ (перпендикуляр $OH$ ), $r$ — радиус.
$d < r$ — две общие точки. Отложим $HA = HB = \sqrt{r^2 - d^2}$ : по теореме Пифагора $OA = OB = r$ . Третьей общей точки нет: иначе из $O$ к $p$ шли бы два перпендикуляра (медианы равнобедренных треугольников $OAC$ и $OAB$ ). Прямая — секущая.
$d = r$ — одна общая точка $H$ : для любой другой точки $M$ прямой $OM > OH = r$ (наклонная длиннее перпендикуляра).
$d > r$ — общих точек нет: $OM \ge OH > r$ .

Касательная и её свойство

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной, общая точка — точкой касания.

Доказательство (от противного). Если $OA$ не перпендикулярен $p$ , то $OA$ — наклонная, и перпендикуляр из $O$ к $p$ короче $OA = r$ . Тогда $d < r$ , и прямая имеет с окружностью две общие точки — противоречие.

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Отрезки касательных из одной точки

Доказательство. Углы $ABO$ и $ACO$ прямые (свойство касательной). Прямоугольные $\triangle ABO$ и $\triangle ACO$ равны по гипотенузе $OA$ и катету $OB = OC$ .

Значит, $AB = AC$ и $\angle 3 = \angle 4$ : центр лежит на биссектрисе угла между касательными.

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Признак касательной

Доказательство. Радиус — перпендикуляр из центра к прямой, значит, расстояние $d = r$ , и общая точка одна.

Построение касательной через точку $A$ окружности: проводим прямую $OA$ и через $A$ — перпендикуляр к ней.

Касательную через точку вне окружности построим в следующем уроке — понадобится вписанный угол.

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Атанасян, № 631, 638Пример 1

а) Каково взаимное расположение прямой и окружности, если

r = 5

см,

d = 4{,}2

см;

r = 8

см,

d = 1{,}2

дм;

r = 5

см,

d = 50

мм? б) Прямая

AB

касается окружности с центром

O

радиуса

r

в точке

B

. Найдите

AB

, если

OA = 2

см,

r = 1{,}5

см.

а) $4{,}2 < 5$ — две общие точки (секущая); $12 > 8$ — общих точек нет; $50$ мм $= 5$ см — касательная.
б) $OB \perp AB$ , $\triangle OBA$ прямоугольный: $AB = \sqrt{OA^2 - OB^2} = \sqrt{4 - 2{,}25} = \sqrt{1{,}75} = \dfrac{\sqrt7}{2}$ см.

Ответ: а) секущая; нет общих точек; касательная; б) $\dfrac{\sqrt7}{2} \approx 1{,}32$ см

Атанасян, № 640, 643Пример 2

а) Из точки

A

к окружности радиуса

4{,}5

см проведены две касательные,

OA = 9

см. Найдите угол между касательными. б) Прямые

AB

AC

касаются окружности с центром

O

в точках

B

C

\angle OAB = 30^\circ

AB = 5

см. Найдите

BC

а) В прямоугольном $\triangle OBA$ катет $OB = 4{,}5$ — половина гипотенузы $OA$ , значит, $\angle OAB = 30^\circ$ ; угол между касательными $60^\circ$ .
б) $\angle BAC = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$ , $AB = AC = 5$ см — треугольник $ABC$ равносторонний: $BC = 5$ см.

Ответ: а) $60^\circ$ ; б) $5$ см

ОГЭ, задание 16Пример 3

Касательные в точках

A

B

к окружности с центром

O

пересекаются под углом

72^\circ

. Найдите угол

ABO

. Ответ дайте в градусах.

Углы $OAP$ и $OBP$ прямые, в четырёхугольнике $OAPB$ : $\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 72^\circ = 108^\circ$ .
$\triangle AOB$ равнобедренный ( $OA = OB$ ): $\angle ABO = \dfrac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ$ .

Ответ: 36

ОГЭ, задание 16Пример 4

На отрезке

AB

выбрана точка

C

так, что

AC = 75

BC = 10

. Построена окружность с центром

A

, проходящая через

C

. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки

B

к этой окружности.

Радиус $r = AC = 75$ , $AB = 75 + 10 = 85$ .
Касательная $BT \perp AT$ : $BT = \sqrt{AB^2 - r^2} = \sqrt{85^2 - 75^2} = \sqrt{(85 - 75)(85 + 75)} = \sqrt{1600} = 40$ .

Ответ: 40

Главное

$d < r$ — секущая, $d = r$ — касательная, $d > r$ — общих точек нет.
Касательная перпендикулярна радиусу в точку касания — и наоборот (признак).
Отрезки касательных из одной точки равны; центр лежит на биссектрисе угла между ними.
Длина касательной из точки $B$ : $\sqrt{OB^2 - r^2}$ .

Касательная к окружности

Все уроки станции «Окружность»