Центральные и вписанные углы

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. $\angle ABC$ опирается на дугу $AC$, лежащую внутри него.

Итак, $\angle ABC = \dfrac12 \smile AC$, а центральный угол на ту же дугу вдвое больше вписанного.

• 1) Луч $BO$ совпадает со стороной $BC$. $\triangle ABO$ равнобедренный ($OA = OB$): $\angle 1 = \angle 2$. $\angle AOC$ — внешний угол: $\angle AOC = \angle 1 + \angle 2 = 2\angle 1$. Но $\angle AOC = \smile AC$, значит, $\angle ABC = \angle 1 = \dfrac12 \smile AC$.
• 2) Луч $BO$ делит угол $ABC$ на два угла и пересекает дугу $AC$ в точке $D$. По случаю 1 $\angle ABD = \dfrac12 \smile AD$, $\angle DBC = \dfrac12 \smile DC$; складываем.
• 3) Луч $BO$ проходит вне угла — вычитаем аналогичные равенства.

Доказательство. В $\triangle ADE$ и $\triangle CBE$: $\angle 1 = \angle 2$ — вписанные, опираются на одну дугу $BD$; углы при $E$ вертикальные. По первому признаку подобия $\triangle ADE \sim \triangle CBE$.

$\dfrac{AE}{CE} = \dfrac{DE}{BE}$, откуда $AE \cdot BE = CE \cdot DE$.

Для касательной $AB$ и секущей $APQ$ из одной точки: $AB^2 = AP \cdot AQ$ (№ 670).

1. $\angle ANB = 90^\circ$ — опирается на диаметр. В $\triangle ANB$: $\angle NAB = 90^\circ - 38^\circ = 52^\circ$.
2. $\angle NMB$ и $\angle NAB$ опираются на одну дугу $NB$: $\angle NMB = 52^\circ$.