Геометрия · 8 класс · урок 3 из 4 · Атанасян, «Геометрия 7–9», гл. VIII, § 3

Четыре замечательные точки треугольника

Выход к заданиям: ОГЭ №16, ОГЭ №19, ОГЭ №23, ОГЭ №24, ОГЭ №25, ЕГЭ №1, ЕГЭ №18

Сначала нужно знать: Центральные и вписанные углы
Зачем этот урок: ОГЭ №19: центр вписанной окружности — пересечение биссектрис, описанной — серединных перпендикуляров
Дальше: Вписанная и описанная окружности

Окружность · урок 3

Биссектрисы, серединные перпендикуляры, медианы, высоты

Свойство биссектрисы угла

1) $M$ на биссектрисе, $MK$ и $ML$ — перпендикуляры к сторонам. Прямоугольные $\triangle AMK = \triangle AML$ по гипотенузе $AM$ и острому углу ( $\angle 1 = \angle 2$ ), поэтому $MK = ML$ .

2) Если $MK = ML$ , те же треугольники равны по гипотенузе и катету, откуда $\angle 1 = \angle 2$ — $AM$ биссектриса.

Следствие. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке: точка пересечения двух биссектрис равноудалена от всех трёх сторон, значит, лежит и на третьей биссектрисе.

Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: каждая точка внутри угла, равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе.

Серединный перпендикуляр

Серединный перпендикуляр — прямая через середину отрезка, перпендикулярная к нему.

1) $M$ на перпендикуляре: $\triangle OAM = \triangle OBM$ по двум катетам, $AM = BM$ .

2) Если $AN = BN$ , то $\triangle ANB$ равнобедренный, медиана $NO$ — высота, и $N$ лежит на перпендикуляре.

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Пересечения в одной точке

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Перпендикуляры $m$ и $n$ к $AB$ и $BC$ пересекаются (иначе через $B$ шли бы две прямые, перпендикулярные $n$ ). Их точка $O$ : $OA = OB$ и $OB = OC$ , значит, $OA = OC$ — $O$ лежит и на третьем перпендикуляре.
Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Через каждую вершину проведём прямую, параллельную противоположной стороне. Вершины $A$ , $B$ , $C$ окажутся серединами сторон нового треугольника (противоположные стороны параллелограммов), а высоты — серединными перпендикулярами к его сторонам. Они пересекаются в одной точке.
Медианы пересекаются в одной точке и делятся ею $2 : 1$ — это мы доказали через подобие.

Замечательные точки

Точка пересечения медиан — центр масс (центроид), делит медианы $2 : 1$ .
Точка пересечения биссектрис — центр вписанной окружности (равноудалена от сторон).
Точка пересечения серединных перпендикуляров — центр описанной окружности (равноудалена от вершин).
Точка пересечения высот (ортоцентр). У равностороннего треугольника все четыре точки совпадают.

Атанасян, № 676, 678Пример 1

а) Стороны угла

A

касаются окружности с центром

O

радиуса

r

. Найдите

OA

, если

r = 5

см,

\angle A = 60^\circ

. б) Биссектрисы

AA_1

BB_1

треугольника

ABC

пересекаются в точке

M

. Найдите углы

ACM

BCM

, если

\angle AMB = 136^\circ

а) $O$ лежит на биссектрисе: $\angle OAK = 30^\circ$ , $OK = r = 5$ — катет против $30^\circ$ . $OA = 10$ см.
б) $\dfrac{\angle A + \angle B}{2} = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ$ , $\angle A + \angle B = 88^\circ$ , $\angle C = 92^\circ$ .
$CM$ — тоже биссектриса: $\angle ACM = \angle BCM = 46^\circ$ .

Ответ: а) $10$ см; б) по $46^\circ$

Атанасян, № 679, 681Пример 2

а) Серединный перпендикуляр к стороне

BC

треугольника

ABC

пересекает

AC

в точке

D

. Найдите

AD

CD

, если

BD = 5

см,

AC = 8{,}5

см. б) Серединный перпендикуляр к стороне

AB

равнобедренного треугольника

ABC

пересекает сторону

BC

в точке

E

. Найдите основание

AC

, если периметр

\triangle AEC

равен

27

см, а

AB = 18

см.

а) $D$ равноудалена от $B$ и $C$ : $CD = BD = 5$ см, $AD = 8{,}5 - 5 = 3{,}5$ см.
б) $AE = BE$ , поэтому $P_{AEC} = AE + EC + AC = BE + EC + AC = BC + AC$ .
$BC = AB = 18$ см (боковые стороны), $AC = 27 - 18 = 9$ см.

Ответ: а) $AD = 3{,}5$ см, $CD = 5$ см; б) $9$ см

ОГЭ, задание 19Пример 3

Какие из следующих утверждений верны? 1) Треугольника со сторонами

1, 2, 4

не существует. 2) Сумма углов любого треугольника равна

360

градусам. 3) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре его описанной окружности.

1) Верно: $4 > 1 + 2$ .
2) Неверно: $180^\circ$ .
3) Верно: точка пересечения равноудалена от вершин.

Ответ: 13

Главное

Точки биссектрисы угла равноудалены от его сторон, и только они.
Точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов отрезка, и только они.
В одной точке пересекаются медианы, биссектрисы, серединные перпендикуляры, высоты.
Биссектрисы — центр вписанной окружности; серединные перпендикуляры — центр описанной.

Четыре замечательные точки треугольника

Все уроки станции «Окружность»