Вписанная и описанная окружности

Если все стороны многоугольника касаются окружности, она вписана в многоугольник, а многоугольник описан около неё.

Доказательство. Точка $O$ пересечения биссектрис равноудалена от сторон: $OK = OL = OM$. Окружность с центром $O$ радиуса $OK$ проходит через $K$, $L$, $M$, и стороны касаются её — они перпендикулярны радиусам.

Единственность: центр любой вписанной окружности равноудалён от сторон — это та же точка $O$, а радиус — то же расстояние.

Не во всякий четырёхугольник можно вписать окружность: в прямоугольник, не являющийся квадратом, — нельзя.

Доказательство. Отрезки касательных из каждой вершины равны; каждая сторона — сумма двух таких отрезков, и обе суммы противоположных сторон состоят из одних и тех же четырёх отрезков.

Верно и обратное: если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, в него можно вписать окружность (№ 724). Площадь описанного многоугольника $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр (№ 697).

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, она описана около многоугольника, а многоугольник вписан в неё.

Доказательство. Точка $O$ пересечения серединных перпендикуляров равноудалена от вершин: $OA = OB = OC$ — окружность с центром $O$ радиуса $OA$ проходит через все вершины.

Центр лежит внутри остроугольного треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного ($R = \dfrac c2$), вне тупоугольного.

Доказательство. $\angle A = \dfrac12 \smile BCD$, $\angle C = \dfrac12 \smile BAD$; две дуги составляют всю окружность: $\angle A + \angle C = \dfrac12 \cdot 360^\circ = 180^\circ$.

Верно и обратное (№ 729). Поэтому около ромба, не являющегося квадратом, описать окружность нельзя, а вписанная трапеция — равнобедренная.