Простейшие показательные уравнения

Пусть $a > 0$, $a \ne 1$, $b$ — данное число. Уравнение $a^x = b$ называют простейшим показательным: $2^x = 8$, $\left(\tfrac13\right)^x = 9$, $5^x = \sqrt[3]{7}$, $25^x = -25$.

Корень уравнения — число $x_0$, при подстановке которого получается верное равенство; решить уравнение — найти все корни или показать, что их нет.

• $a^{x_0} > 0$ при любом $x_0$, поэтому при $b \le 0$ равенство $a^{x_0} = b$ невозможно.
• При $b > 0$ по определению логарифма $a^{\log_a b} = b$, а другого корня нет: функция $a^x$ монотонна.
• Практический приём: записать $b$ степенью того же основания, $a^x = a^\alpha$, и приравнять показатели: $x = \alpha$.
• Примеры: $\left(\tfrac12\right)^x = 2 \iff \left(\tfrac12\right)^x = \left(\tfrac12\right)^{-1}$, $x = -1$; $\ 3^x = 5$, $x = \log_3 5$; $\ 25^x = -25$ — корней нет.

• Вынесение общего множителя. $5^{x+2} - 2\cdot 5^x - 3\cdot 5^{x+1} = 200$: $5^{x+2} = 25\cdot 5^x$, $5^{x+1} = 5\cdot 5^x$, поэтому $5^x(25 - 2 - 15) = 200$, $5^x = 25$, $x = 2$.
• Деление на степень. $4\cdot 3^x - 9\cdot 2^x = 0$: $2^x \ne 0$, делим: $4\left(\tfrac32\right)^x - 9 = 0$, $\left(\tfrac32\right)^x = \tfrac94 = \left(\tfrac32\right)^2$, $x = 2$.
• Одно основание. $9^{6 + x} = 81^{2x}$: $3^{12 + 2x} = 3^{8x}$, $12 + 2x = 8x$, $x = 2$.
• Одинаковые показатели. $a^{f(x)} = b^{f(x)}$ ($a \ne b$) ⇔ $\left(\tfrac ab\right)^{f(x)} = 1$ ⇔ $f(x) = 0$.

1. а) $x = 5$. б) $\tfrac{1}{25} = 0{,}2^2$, $x = 2$.
2. в) $3^{3x} = 3^1$, $x = \tfrac13$. г) $0{,}04 = 0{,}2^2$: $0{,}2^{2x} = 0{,}2^1$, $x = \tfrac12$.
3. д) $5^x > 0$ — корней нет.

1. а) $5^{x-1}(5 - 1) = 100$, $5^{x-1} = 25$, $x - 1 = 2$, $x = 3$.
2. б) $4^x(4 + 16) = 40$, $4^x = 2$, $x = \tfrac12$.
3. в) Делим на $3^x$: $9\left(\tfrac53\right)^x = 25$, $\left(\tfrac53\right)^x = \left(\tfrac53\right)^2$, $x = 2$.

1. $\dfrac{1}{125} = 5^{-3}$: $x - 7 = -3$.
2. $x = 4$.

1. $\left(\tfrac12\right)^{6 - 2x} = 2^{2x - 6}$, $4 = 2^2$.
2. $2x - 6 = 2$, $x = 4$.

1. Основание $6$: $6^{-x - 6} = 6^{2x}$.
2. $-x - 6 = 2x$, $x = -2$.

1. $6^x(6 - 1) = 180$, $6^x = 36 = 6^2$.
2. $x = 2$.

1. Делим на $10^{2 - 5x} > 0$: $\left(\dfrac{6}{10}\right)^{2 - 5x} = 0{,}6$, то есть $0{,}6^{2 - 5x} = 0{,}6^1$.
2. $2 - 5x = 1$, $x = 0{,}2$.

• $a^x = b$: при $b \le 0$ корней нет, при $b > 0$ $x = \log_a b$.
• Приводим к одному основанию и приравниваем показатели.
• $a^{x + k}$ раскладываем как $a^k\cdot a^x$ и выносим $a^x$ за скобки.
• Разные основания с одинаковым показателем — делим и получаем $\left(\tfrac ab\right)^{f(x)} = c$.