Уравнения и неравенства · 10 класс · урок 3 из 6 · Никольский, «Алгебра и начала анализа 10», § 6, п. 6.3

Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой

Сначала нужно знать: Простейшие показательные и логарифмические уравнения, квадратные уравнения
Зачем этот урок: ЕГЭ №14 (пункт а): показательные и логарифмические уравнения с заменой
Дальше: Показательные неравенства

Показательные и логарифмические уравнения · урок 3

Замена неизвестного

Показательные и логарифмические уравнения, сводящиеся к простейшим

Замена внутри функции

$\log_5(4x - 3) = 2$ : обозначим $t = 4x - 3$ , тогда $\log_5 t = 2$ , $t = 25$ , $4x - 3 = 25$ , $x = 7$ . Обычно пишут сразу: $4x - 3 = 5^2$ .
$9^{2x^2 - 4x + 2} - 2\cdot 3^{4x^2 - 8x + 3} - 1 = 0$ : $9^{2x^2 - 4x + 2} = 3^{4x^2 - 8x + 4} = 3\cdot 3^{4x^2 - 8x + 3}$ , уравнение принимает вид $3^{4x^2 - 8x + 3} = 1$ .
$t = 4x^2 - 8x + 3$ : $3^t = 1$ , $t = 0$ , $4x^2 - 8x + 3 = 0$ , $x_1 = \tfrac12$ , $x_2 = \tfrac32$ .

Замена, приводящая к квадратному уравнению

a^{2x} = \left(a^x\right)^2, \qquad t = a^x > 0; \qquad\qquad t = \log_a x \in \mathbb{R}

$4^x - 3\cdot 2^x + 2 = 0$ : $t = 2^x$ , $t^2 - 3t + 2 = 0$ , $t = 1$ или $t = 2$ ; $2^x = 1$ или $2^x = 2$ : $x = 0;\ 1$ .
$\lg^2 x - \lg x - 12 = 0$ : $t = \lg x$ , $t = -3$ или $t = 4$ : $x = 0{,}001;\ 10\,000$ .
Важно: у показательной замены $t > 0$ — отрицательные $t$ корней не дают; у логарифмической $t$ — любое.

Однородные уравнения и рациональная замена

$6\cdot 9^x - 13\cdot 6^x + 6\cdot 4^x = 0$ . Делим на $4^x \ne 0$ : $6\left(\tfrac32\right)^{2x} - 13\left(\tfrac32\right)^x + 6 = 0$ .
$t = \left(\tfrac32\right)^x$ : $6t^2 - 13t + 6 = 0$ , $t = \tfrac23$ или $t = \tfrac32$ : $x = -1;\ 1$ .
$\dfrac{2}{\lg(3x + 1) + \lg 0{,}01} + \dfrac{1}{\lg(3x + 1)} = -1$ : $t = \lg(3x + 1)$ , $\lg 0{,}01 = -2$ : $\dfrac{2}{t - 2} + \dfrac1t = -1$ , $t^2 + t - 2 = 0$ , $t = -2$ или $t = 1$ .
$3x + 1 = 0{,}01$ ⇒ $x = -0{,}33$ ; $3x + 1 = 10$ ⇒ $x = 3$ .

Никольский, № 6.21, 6.22Пример 1

Решите уравнение: а)

9^x - 5\cdot 3^x + 6 = 0

; б)

3^{2x} - 8\cdot 3^x - 9 = 0

; в)

\lg^2 x - 3\lg x + 2 = 0

а) $t = 3^x$ : $t^2 - 5t + 6 = 0$ , $t = 2$ или $3$ : $x = \log_3 2$ или $x = 1$ .
б) $t^2 - 8t - 9 = 0$ : $t = 9$ или $t = -1$ (не подходит, $t > 0$ ): $x = 2$ .
в) $t = \lg x$ : $t = 1$ или $t = 2$ : $x = 10$ или $x = 100$ .

Ответ: а) $\log_3 2;\ 1$ ; б) $2$ ; в) $10;\ 100$

Никольский, № 6.23, 6.27Пример 2

Решите уравнение: а)

5^x + 2\cdot 5^{-x} - 3 = 0

; б)

\log_2 x + 5\log_x 2 = 6

а) $t = 5^x > 0$ : $t + \dfrac2t - 3 = 0$ , $t^2 - 3t + 2 = 0$ , $t = 1$ или $2$ : $x = 0$ или $x = \log_5 2$ .
б) $\log_x 2 = \dfrac{1}{\log_2 x}$ , $t = \log_2 x \ne 0$ : $t + \dfrac5t = 6$ , $t^2 - 6t + 5 = 0$ , $t = 1$ или $5$ .
$x = 2$ или $x = 32$ (оба $> 0$ , $\ne 1$ ).

Ответ: а) $0;\ \log_5 2$ ; б) $2;\ 32$

ЕГЭ, задание 14 (а)Пример 3

Решите уравнение

4^{x^2 - 2x + 1} + 4^{x^2 - 2x} = 20

$4^{x^2 - 2x + 1} = 4\cdot 4^{x^2 - 2x}$ : $5\cdot 4^{x^2 - 2x} = 20$ , $4^{x^2 - 2x} = 4$ .
$x^2 - 2x = 1$ , $x^2 - 2x - 1 = 0$ .

Ответ: $1 \pm \sqrt2$

ЕГЭ, задание 14 (а)Пример 4

Решите уравнение

2\log_9^2 x - 3\log_9 x + 1 = 0

Ответ: $3;\ 9$

ЕГЭ, задание 14 (а)Пример 5

Решите уравнение

\log_3\left(x^2 - 2x\right) = 1

Ответ: $-1;\ 3$

ЕГЭ, задание 7Пример 6

Решите уравнение

\log_2\dfrac x6 = \log_{0{,}5}(x + 1)

. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

$\log_{0{,}5}(x + 1) = -\log_2(x + 1)$ : $\log_2\dfrac x6 + \log_2(x + 1) = 0$ , $\dfrac{x(x + 1)}{6} = 1$ при $x > 0$ .
$x^2 + x - 6 = 0$ : $x = 2$ или $x = -3$ (не подходит, $x > 0$ ).
Единственный корень $2$ .

Ответ: 2

Главное

$a^{2x} = (a^x)^2$ : замена $t = a^x$ , отбираем $t > 0$ .
$t = \log_a x$ — любые $t$ ; $\log_x a = \tfrac1t$ .
Однородное $A\cdot a^{2x} + B\cdot(ab)^x + C\cdot b^{2x} = 0$ — делим на $b^{2x}$ .
После замены решаем простейшие уравнения и объединяем корни.

Все уроки станции «Показательные и логарифмические уравнения»