Уравнения и неравенства · 10 класс · урок 2 из 6 · Никольский, «Алгебра и начала анализа 10», § 6, п. 6.2

Простейшие логарифмические уравнения

Выход к заданиям: ЕГЭ №7, ЕГЭ №10, ЕГЭ №14, ЕГЭ №16

Сначала нужно знать: Понятие логарифма, логарифмическая функция
Зачем этот урок: ЕГЭ №7: логарифмические уравнения
Дальше: Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой

Показательные и логарифмические уравнения · урок 2

logₐ x = b и уравнения, сводящиеся к нему

Уравнение logₐ x = b

По определению логарифма $\log_a x_0 = b$ означает $x_0 = a^b$ — и это число единственное.

Удобная запись: $\log_a x = \log_a\alpha$ , где $\alpha = a^b$ , — отсюда $x = \alpha$ .

Примеры: $\log_{\frac13} x = -2$ ⇒ $x = \left(\tfrac13\right)^{-2} = 9$ ; $\ \log_2 x = \sqrt2$ ⇒ $x = 2^{\sqrt2}$ ; $\ \log_3 x = 3 = \log_3 27$ ⇒ $x = 27$ .

При любом

b

уравнение

\log_a x = b

(

a > 0

a \ne 1

) имеет единственный корень

x_0 = a^b

Уравнения вида logₐ f(x) = logₐ g(x)

$\log_a f(x) = b \iff f(x) = a^b$ : здесь $f(x) = a^b > 0$ автоматически, проверять область определения не нужно.
$\log_a f(x) = \log_a g(x)$ : из равенства логарифмов следует $f(x) = g(x)$ , но корень должен удовлетворять условиям $f(x) > 0$ , $g(x) > 0$ (достаточно одного из них: значения равны).
Неизвестное в основании: $\log_{h(x)} c = b \iff h(x)^b = c$ , $h(x) > 0$ , $h(x) \ne 1$ .
Логарифмы с разными основаниями приводят к одному по формуле перехода: $\log_{16} x = \dfrac{\log_2 x}{4}$ , $\log_{0{,}5} x = -\log_2 x$ .

Приведение к одному основанию

Пример 4 учебника. $5\log_{16} x - 3\log_4 x + \log_2 x = -3$ : $\log_{16} x = \tfrac14\log_2 x$ , $\log_4 x = \tfrac12\log_2 x$ .
$\left(\tfrac54 - \tfrac32 + 1\right)\log_2 x = -3$ , $\tfrac34\log_2 x = -3$ , $\log_2 x = -4$ , $x = \tfrac{1}{16}$ .
Сумма квадратов логарифмов. Если после перехода к одному основанию уравнение имеет вид $c\cdot\log_a^2 x = 0$ с $c > 0$ (все слагаемые — квадраты логарифма с положительными коэффициентами), то $\log_a x = 0$ , $x = 1$ .

Никольский, № 6.10, 6.11Пример 1

Решите уравнение: а)

\log_2 x = 5

; б)

\log_3 x = 0{,}5

; в)

\log_{0{,}25} x = -0{,}5

; г)

\log_3(\log_2 x) = 1

; д)

\log_5(\log_2 x) = 0

а) $x = 2^5 = 32$ . б) $x = 3^{0{,}5} = \sqrt3$ . в) $x = 0{,}25^{-0{,}5} = 4^{0{,}5} = 2$ .
г) $\log_2 x = 3$ , $x = 8$ . д) $\log_2 x = 1$ , $x = 2$ .

Ответ: а) $32$ ; б) $\sqrt3$ ; в) $2$ ; г) $8$ ; д) $2$

Никольский, № 6.12Пример 2

Решите уравнение

\log_{16} x + \log_4 x + \log_2 x = 7

$\log_{16} x = \tfrac14\log_2 x$ , $\log_4 x = \tfrac12\log_2 x$ .
$\left(\tfrac14 + \tfrac12 + 1\right)\log_2 x = 7$ , $\tfrac74\log_2 x = 7$ , $\log_2 x = 4$ .
$x = 16$ .

Ответ: 16

ЕГЭ, задание 7Пример 3

Найдите корень уравнения

\log_7(4 - x) = 2

$4 - x = 7^2 = 49$ .
$x = -45$ .

Ответ: −45

ЕГЭ, задание 7Пример 4

Найдите корень уравнения

\log_4(16 - 2x) = 2\log_4 3

$2\log_4 3 = \log_4 9$ : $16 - 2x = 9$ (и $9 > 0$ ).
$x = 3{,}5$ .

Ответ: 3,5

ЕГЭ, задание 7Пример 5

Решите уравнение

\log_7\left(x^2 + 5x\right) = \log_7\left(x^2 + 6\right)

$x^2 + 5x = x^2 + 6$ , $x = 1{,}2$ .
Проверка: $x^2 + 6 > 0$ при всех $x$ — корень подходит.

Ответ: 1,2

ЕГЭ, задание 7Пример 6

Решите уравнение

\log_{x - 6} 4 = 2

. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

$(x - 6)^2 = 4$ при условиях $x - 6 > 0$ , $x - 6 \ne 1$ .
$x - 6 = 2$ или $x - 6 = -2$ ; второе не подходит — основание отрицательно.
Единственный корень $x = 8$ .

Ответ: 8

ЕГЭ, задание 7Пример 7

Найдите корень уравнения

2^{\log_8(4x + 5)} = 7

$\log_8 y = \dfrac13\log_2 y$ , поэтому $2^{\log_8 y} = \left(2^{\log_2 y}\right)^{\frac13} = \sqrt[3]{y}$ .
$\sqrt[3]{4x + 5} = 7$ , $4x + 5 = 343$ , $x = 84{,}5$ .

Ответ: 84,5

Главное

$\log_a x = b \iff x = a^b$ — один корень при любом $b$ .
$\log_a f = \log_a g$ ⇒ $f = g$ и обязательно $f > 0$ (или $g > 0$ ).
Неизвестное в основании: основание $> 0$ и $\ne 1$ .
Разные основания — переходим к одному.

Простейшие логарифмические уравнения

Все уроки станции «Показательные и логарифмические уравнения»