Уравнения и неравенства · 10 класс · урок 4 из 6 · Никольский, «Алгебра и начала анализа 10», § 6, п. 6.4

Показательные неравенства

Выход к заданиям: ЕГЭ №7, ЕГЭ №10, ЕГЭ №14, ЕГЭ №16

Сначала нужно знать: Показательная функция, простейшие показательные уравнения
Зачем этот урок: ЕГЭ №16: показательные неравенства
Дальше: Логарифмические неравенства

Показательные и логарифмические уравнения · урок 4

aˣ > b, aˣ < b: решение по монотонности

Простейшие неравенства aˣ > b и aˣ < b

$a > 0$ , $a \ne 1$ . Решение неравенства — число, при подстановке которого получается верное числовое неравенство; решить — найти все решения или показать, что их нет.

$b \le 0$ . $a^x > 0 \ge b$ при любом $x$ : неравенство $a^x > b$ верно на всей оси $(-\infty; +\infty)$ , а $a^x < b$ решений не имеет.

$b > 0$ . Записываем

b = a^{x_0}

x_0 = \log_a b

. При

a > 1

a^x > a^{x_0} \iff x > x_0

; при

0 < a < 1

a^x > a^{x_0} \iff x < x_0

— знак меняется.

Почему так

При $a > 1$ функция $a^x$ возрастает: для $x > x_0$ $a^x > a^{x_0}$ , для $x < x_0$ $a^x < a^{x_0}$ ; равенство — только при $x = x_0$ .
При $0 < a < 1$ функция убывает — всё наоборот.
Графически: при $b > 0$ прямая $y = b$ пересекает график в точке $x_0$ ; где график выше прямой — там $a^x > b$ .

Решения учебника

$2^x < 8 = 2^3$ , $2 > 1$ : $x < 3$ . Ответ $(-\infty; 3)$ .
$\left(\tfrac13\right)^x < 5 = \left(\tfrac13\right)^{\log_{\frac13} 5}$ , основание меньше $1$ : $x > \log_{\frac13} 5$ . Ответ $\left(\log_{\frac13} 5; +\infty\right)$ .
$2^x < -1$ — решений нет. $\ 2^{x - 2} + 2^{x + 1} < 18$ : $\left(\tfrac14 + 2\right)2^x < 18$ , $2^x < 8$ , $x < 3$ .
$49\cdot 5^x - 25\cdot 7^x > 0$ : делим на $49\cdot 7^x > 0$ : $\left(\tfrac57\right)^x > \left(\tfrac57\right)^2$ , основание $< 1$ : $x < 2$ .

Никольский, № 6.31, 6.32Пример 1

Решите неравенство: а)

5^x < 125

; б)

(0{,}2)^x > 1

; в)

3^x > -1

; г)

4^x \ge 2

; д)

9^x \le \dfrac13

а) $5^x < 5^3$ : $x < 3$ . б) $0{,}2^x > 0{,}2^0$ , основание $< 1$ : $x < 0$ . в) верно при всех $x$ .
г) $2^{2x} \ge 2^1$ : $x \ge \tfrac12$ . д) $3^{2x} \le 3^{-1}$ : $x \le -\tfrac12$ .

Ответ: а) $(-\infty; 3)$ ; б) $(-\infty; 0)$ ; в) $\mathbb{R}$ ; г) $\left[\tfrac12; +\infty\right)$ ; д) $\left(-\infty; -\tfrac12\right]$

Никольский, № 6.34, 6.35Пример 2

Решите неравенство: а)

2^{x + 2} + 2^x > 20

; б)

3^{x + 2} - 3^x < 24

; в)

9\cdot 7^x - 49\cdot 3^x > 0

а) $2^x(4 + 1) > 20$ , $2^x > 4$ , $x > 2$ . б) $3^x(9 - 1) < 24$ , $3^x < 3$ , $x < 1$ .
в) Делим на $9\cdot 3^x > 0$ : $\left(\tfrac73\right)^x > \tfrac{49}{9} = \left(\tfrac73\right)^2$ , основание $> 1$ : $x > 2$ .

Ответ: а) $(2; +\infty)$ ; б) $(-\infty; 1)$ ; в) $(2; +\infty)$

Никольский, № 6.33Пример 3

Решите неравенство: а)

81\cdot 3^x > 1

; б)

27\cdot 3^x < 1

; в)

250\cdot\left(\dfrac15\right)^x < 2

; г)

12\cdot\left(\dfrac14\right)^x > 3

а) $3^{x + 4} > 3^0$ : $x > -4$ . б) $3^{x + 3} < 3^0$ : $x < -3$ .
в) $\left(\tfrac15\right)^x < \tfrac{1}{125} = \left(\tfrac15\right)^3$ , основание $< 1$ : $x > 3$ .
г) $\left(\tfrac14\right)^x > \tfrac14$ , основание $< 1$ : $x < 1$ .

Ответ: а) $(-4; +\infty)$ ; б) $(-\infty; -3)$ ; в) $(3; +\infty)$ ; г) $(-\infty; 1)$

ЕГЭ, задание 16Пример 4

Решите неравенство

2^{x^2} \le 4\cdot 2^x

$4\cdot 2^x = 2^{x + 2}$ : $2^{x^2} \le 2^{x + 2}$ , основание $2 > 1$ — знак сохраняется.
$x^2 \le x + 2$ , $x^2 - x - 2 \le 0$ , $(x - 2)(x + 1) \le 0$ .

Ответ: $[-1; 2]$

ЕГЭ, задание 16Пример 5

Решите неравенство

5^{3x - 1} - 5^{3x + 1} \le -72

$5^{3x}\left(\tfrac15 - 5\right) \le -72$ , $-\tfrac{24}{5}\cdot 5^{3x} \le -72$ , $5^{3x} \ge 15$ .
$3x \ge \log_5 15 = 1 + \log_5 3$ , $x \ge \dfrac{\log_5 3 + 1}{3}$ .

Ответ: $\left[\dfrac{\log_5 3 + 1}{3}; +\infty\right)$

Главное

$b \le 0$ : $a^x > b$ — всегда, $a^x < b$ — никогда.
$b > 0$ : $b = a^{x_0}$ и сравниваем показатели.
$a > 1$ — знак сохраняется, $0 < a < 1$ — меняется.
Сумму степеней с одним основанием сворачиваем вынесением $a^x$ .

Показательные неравенства

Все уроки станции «Показательные и логарифмические уравнения»