Логарифмические неравенства

$\log_a x > b$ и $\log_a x < b$ ($a > 0$, $a \ne 1$) — простейшие логарифмические неравенства. Записываем $b = \log_a x_0$, $x_0 = a^b$.

• $\log_{\frac13} x > -2$: $-2 = \log_{\frac13} 9$, функция убывает — $0 < x < 9$.
• $\log_4 x > \tfrac12$: $\tfrac12 = \log_4 2$, функция возрастает — $x > 2$.
• Для $a > 1$ при $x > x_0$ график $y = \log_a x$ выше прямой $y = b$, при $0 < x < x_0$ — ниже.

• Одно основание. $\log_3 x - 3\log_9 x - \log_{81} x > 1{,}5$: $\log_9 x = \tfrac12\log_3 x$, $\log_{81} x = \tfrac14\log_3 x$.
• $\left(1 - \tfrac32 - \tfrac14\right)\log_3 x > 1{,}5$, $-\tfrac34\log_3 x > 1{,}5$, $\log_3 x < -2$, $0 < x < \tfrac19$.
• Сложный аргумент. $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ при $a > 1$ ⇔ $f(x) > g(x) > 0$; при $0 < a < 1$ ⇔ $0 < f(x) < g(x)$. Условие положительности берём у меньшего выражения.
• Предупреждение. Деление на отрицательный коэффициент меняет знак неравенства, как в примере выше.

1. а) $x > 2$. б) $0 < x < 100$.
2. в) основание $< 1$: $0 < x < 0{,}2$. г) $\log_{0{,}5} x \le \log_{0{,}5} 1$: $x \ge 1$.
3. д) $-1 = \log_{0{,}6}\tfrac53$: $0 < x \le \tfrac53$.

1. а) $3x - 5 > 8$, $x > \tfrac{13}{3}$.
2. б) основание $< 1$: $0 < 3x - 4 < 5$, $\tfrac43 < x < 3$.
3. в) $0 < x^2 - 3x < 4$: $x^2 - 3x > 0 \iff x < 0$ или $x > 3$; $x^2 - 3x - 4 < 0 \iff -1 < x < 4$. Пересечение: $(-1; 0) \cup (3; 4)$.

1. а) $\left(1 + \tfrac12 + \tfrac14\right)\log_2 x > 3{,}5$, $\log_2 x > 2$, $x > 4$.
2. б) $\left(1 + \tfrac12 + \tfrac13\right)\log_3 x < 11$, $\tfrac{11}{6}\log_3 x < 11$, $\log_3 x < 6$, $0 < x < 729$.
3. в) $\log_3 x > 2$ (тогда и $\log_3 x > 0$), $x > 9$.

1. Область определения: $4 - x > 0$, $16 - x^2 > 0$ ⇒ $-4 < x < 4$.
2. $\log_6\bigl(6(4 - x)\bigr) \le \log_6\bigl((4 - x)(4 + x)\bigr)$ ⇒ $6(4 - x) \le (4 - x)(4 + x)$.
3. Делим на $4 - x > 0$: $6 \le 4 + x$, $x \ge 2$. С учётом области: $2 \le x < 4$.

1. Область: $(x - 2)(x + 1) > 0$ и $\dfrac{x + 1}{x - 2} > 0$ — одно и то же: $x < -1$ или $x > 2$.
2. $\log_3\bigl((x - 2)(x + 1)\bigr) \le \log_3\dfrac{3(x + 1)}{x - 2}$ ⇒ $(x - 2)(x + 1) \le \dfrac{3(x + 1)}{x - 2}$.
3. Умножаем на $\dfrac{x - 2}{x + 1} > 0$: $(x - 2)^2 \le 3$, $2 - \sqrt3 \le x \le 2 + \sqrt3$. С областью: $2 < x \le 2 + \sqrt3$.

• $b = \log_a a^b$ и сравниваем аргументы.
• $a > 1$ — знак сохраняется, $0 < a < 1$ — меняется.
• Всегда добавляем условие: аргументы логарифмов положительны.
• Сумму логарифмов собираем в логарифм произведения только на области определения.