Уравнения и неравенства · 10 класс · урок 6 из 6 · Никольский, «Алгебра и начала анализа 10», § 6, п. 6.6

Неравенства с заменой неизвестного

Сначала нужно знать: Показательные и логарифмические неравенства, метод интервалов
Зачем этот урок: ЕГЭ №16: неравенства, рациональные относительно показательной и логарифмической функций
Дальше: Равносильность уравнений и неравенств (11 класс)

Показательные и логарифмические уравнения · урок 6

Неравенства с заменой

Сведение к простейшим показательным и логарифмическим неравенствам

Замена внутри функции

$5^{3x^2 - 2x - 6} < \tfrac15$ : $t = 3x^2 - 2x - 6$ , $5^t < 5^{-1}$ , $t < -1$ . Значит, $3x^2 - 2x - 6 < -1$ , $3x^2 - 2x - 5 < 0$ : $-1 < x < \tfrac53$ .
$\log_{0{,}5}\left(x^2 - 3x + 2\right) > -1$ : $-1 = \log_{0{,}5} 2$ , основание $< 1$ : $0 < x^2 - 3x + 2 < 2$ .
Двойное неравенство: $(x - 1)(x - 2) > 0$ и $x(x - 3) < 0$ — ответ $(0; 1) \cup (2; 3)$ .
Обычно новое неизвестное не вводят, а сразу пишут равносильное неравенство на показатель или аргумент.

Замена, приводящая к квадратному неравенству

$4^x - 3\cdot 2^x + 2 > 0$ : $t = 2^x$ , $t^2 - 3t + 2 > 0 \iff t < 1$ или $t > 2$ . $2^x < 1 \iff x < 0$ ; $2^x > 2 \iff x > 1$ . Ответ $(-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$ .
$\log_2^2 x - 2\log_2 x - 3 < 0$ : $t = \log_2 x$ , $-1 < t < 3$ , то есть $\log_2\tfrac12 < \log_2 x < \log_2 8$ : $\tfrac12 < x < 8$ .
После решения неравенства для $t$ обратная замена даёт простейшие неравенства — их решения объединяем или пересекаем.

Рациональные и однородные неравенства

$2^x - \dfrac{9}{2^x - 1} < 1$ : $t = 2^x$ , $\dfrac{(t - 1)^2 - 9}{t - 1} < 0$ , $\dfrac{(t - 4)(t + 2)}{t - 1} < 0$ ⇒ $t < -2$ или $1 < t < 4$ .
$2^x < -2$ — решений нет; $1 < 2^x < 4$ ⇒ $0 < x < 2$ . Ответ $(0; 2)$ .
$49\cdot 5^{3x - 4} - 25\cdot 7^{3x - 4} > 0$ : делим на $7^{3x - 4} > 0$ : $\left(\tfrac57\right)^{3x - 4} > \left(\tfrac57\right)^2$ , $3x - 4 < 2$ , $x < 2$ .
$25^{x + 0{,}5} - 7\cdot 10^x + 4^{x + 0{,}5} > 0$ : $5\cdot 25^x - 7\cdot 10^x + 2\cdot 4^x > 0$ , делим на $4^x$ , $t = \left(\tfrac52\right)^x$ : $5t^2 - 7t + 2 > 0$ , $t < \tfrac25$ или $t > 1$ : $x < -1$ или $x > 0$ .

Никольский, № 6.56, 6.60Пример 1

Решите неравенство: а)

4^x - 3\cdot 2^{x + 1} + 8 \le 0

; б)

\lg^2 x - \lg x - 2 > 0

а) $t = 2^x$ : $t^2 - 6t + 8 \le 0$ , $2 \le t \le 4$ , $1 \le x \le 2$ .
б) $t = \lg x$ : $t^2 - t - 2 > 0$ , $t < -1$ или $t > 2$ : $0 < x < 0{,}1$ или $x > 100$ .

Ответ: а) $[1; 2]$ ; б) $(0; 0{,}1) \cup (100; +\infty)$

ЕГЭ, задание 16Пример 2

Решите неравенство

3\cdot 9^x - 28\cdot 3^x + 9 \le 0

Ответ: $[-1; 2]$

ЕГЭ, задание 16Пример 3

Решите неравенство

4^x - 7\cdot 2^x + 10 \le 0

Ответ: $[1; \log_2 5]$

ЕГЭ, задание 16Пример 4

Решите неравенство

25^x - 20^x - 2\cdot 16^x \le 0

Однородное: делим на $16^x > 0$ , $t = \left(\tfrac54\right)^x > 0$ : $t^2 - t - 2 \le 0$ , $-1 \le t \le 2$ .
С учётом $t > 0$ : $\left(\tfrac54\right)^x \le 2$ , основание $> 1$ : $x \le \log_{1{,}25} 2$ .

Ответ: $\left(-\infty; \log_{1{,}25} 2\right]$

ЕГЭ, задание 16Пример 5

Решите неравенство

\log_2^2 x + 6 > 5\log_2 x

Ответ: $(0; 4) \cup (8; +\infty)$

ЕГЭ, задание 16Пример 6

Решите неравенство

\dfrac{5\lg^2 x - 1}{\lg^2 x - 1} \ge 1

$t = \lg x$ : $\dfrac{5t^2 - 1 - (t^2 - 1)}{t^2 - 1} \ge 0$ , $\dfrac{4t^2}{(t - 1)(t + 1)} \ge 0$ .
Метод интервалов: $t < -1$ , $t = 0$ или $t > 1$ .
$\lg x < -1 \iff 0 < x < 0{,}1$ ; $\lg x = 0 \iff x = 1$ ; $\lg x > 1 \iff x > 10$ .

Ответ: $(0; 0{,}1) \cup \{1\} \cup (10; +\infty)$

ЕГЭ, задание 16Пример 7

Решите неравенство

\left(\log_2(x + 4{,}2) + 2\right)\left(\log_2(x + 4{,}2) - 3\right) \ge 0

$t = \log_2(x + 4{,}2)$ : $(t + 2)(t - 3) \ge 0$ , $t \le -2$ или $t \ge 3$ .
$0 < x + 4{,}2 \le \tfrac14 \iff -4{,}2 < x \le -3{,}95$ ; $x + 4{,}2 \ge 8 \iff x \ge 3{,}8$ .

Ответ: $(-4{,}2; -3{,}95] \cup [3{,}8; +\infty)$

Главное

Сначала решаем неравенство для $t$ , затем — простейшие неравенства обратной замены.
$t = a^x$ : учитываем $t > 0$ ; $t = \log_a x$ : в конце $x > 0$ .
Рациональные по $t$ — методом интервалов; изолированные точки ( $t = 0$ ) не теряем.
Однородные по $a^x$ и $b^x$ — делим на $b^{2x}$ .

Все уроки станции «Показательные и логарифмические уравнения»