Линейные неравенства

Неравенство такого вида, где $k$ и $b$ — данные числа и $k \ne 0$, называют неравенством первой степени с одним неизвестным $x$. Число $k$ — коэффициент при неизвестном, $b$ — свободный член.

Решение неравенства — число $x_0$, при подстановке которого вместо $x$ получается верное числовое неравенство.

Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что их нет.

1. Пусть $x_0$ — решение: $2x_0 + 5 < 0$ — верное неравенство. Прибавим $-5$: $\ 2x_0 < -5$. Разделим на положительное $2$: $\ x_0 < -\dfrac52$.
2. Обратно, если $x_0 < -\dfrac52$, умножим на $2$ и прибавим $5$: $\ 2x_0 + 5 < 0$ — $x_0$ решение.
3. Значит, множество решений — интервал $\left(-\infty;\ -\dfrac52\right)$.

Пример: $-4x + 13 < 0$. Переносим: $-4x < -13$. Делим на отрицательное $-4$ и меняем знак: $x > \dfrac{13}{4}$. Ответ: $\left(\dfrac{13}{4};\ +\infty\right)$.

Неравенство, левая и правая части которого — многочлены степени не выше первой или числа, называют линейным неравенством: $2x + 7 < x - 5$, $\ 0x - 3 < 0$, $\ 2x + 7 > 2x + 5$.

Два неравенства равносильны, если любое решение первого — решение второго и наоборот. Неравенства без решений считаются равносильными.

• 1. Члены неравенства можно переносить с противоположными знаками из одной части в другую.
• 2. В неравенстве можно приводить подобные члены.
• 3. При умножении (делении) на положительное число знак неравенства сохраняется.
• 4. При умножении (делении) на отрицательное число знак меняется на противоположный.

1. а) Переносим всё влево: $4x - 7 + 2x - 5 < 0$, $\ 6x - 12 < 0$, $\ x < 2$.
2. б) $7x + 5 - 7x + 1 < 0$, то есть $0 \cdot x + 6 < 0$ — неверно ни при каком $x$: решений нет.
3. в) $0 \cdot x + 1 > 0$ — верно при любом $x$: решение — вся прямая.

1. Раскрываем скобки: $6x - 4x - 18 \le 1$, $\ 2x \le 19$.
2. Делим на положительное $2$: $x \le 9{,}5$ — промежуток $(-\infty;\ 9{,}5]$, конец входит (неравенство нестрогое).

1. Переносим: $-x - 4x > 7 + 3$, $\ -5x > 10$.
2. Делим на отрицательное $-5$ — знак меняется: $x < -2$.

1. $-3x - 7x < -9 + 3$, $\ -10x < -6$.
2. Делим на $-10$, меняя знак: $x > 0{,}6$.

• Решить неравенство — найти все решения или доказать, что их нет; ответ — промежуток.
• Переносим члены с противоположным знаком, приводим подобные.
• Делим на коэффициент: положительный — знак тот же, отрицательный — знак меняется.
• $0 \cdot x + b > 0$: при $b > 0$ — любое $x$, иначе — решений нет.