Квадратные неравенства

Такое неравенство называют неравенством второй степени с одним неизвестным. $D = b^2 - 4ac$ называют его дискриминантом. Примеры: $3x^2 - 4x + 5 > 0$, $\ -x^2 - 1 > 0$, $\ -2x^2 < 0$.

Если $a < 0$, умножим неравенство на $-1$ (знак сменится) — получим равносильное неравенство с положительным коэффициентом при $x^2$. Поэтому дальше считаем $a > 0$.

Тогда $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, $x_1 < x_2$. Неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ равносильно $(x - x_1)(x - x_2) > 0$.

При $x > x_2$ оба множителя положительны — произведение $> 0$. При $x_1 < x < x_2$ первый $> 0$, второй $< 0$ — произведение $< 0$. При $x < x_1$ оба отрицательны — произведение $> 0$.

Итог: $ax^2 + bx + c > 0$ при $x \in (-\infty;\ x_1) \cup (x_2;\ +\infty)$; $\ ax^2 + bx + c < 0$ при $x \in (x_1;\ x_2)$.

1. Умножим на $-1$, меняя знак: $x^2 + x - 6 > 0$.
2. $D = 25 > 0$, корни $x_1 = -3$, $x_2 = 2$.
3. Трёхчлен положителен вне промежутка между корнями.

1. а) Переносим всё влево и приводим подобные: $-x^2 - x + 6 > 0$, то есть $x^2 + x - 6 < 0$. Корни $-3$ и $2$ — ответ между ними.
2. б) $x^2 - 5 > 0$, $\ (x + \sqrt5)(x - \sqrt5) > 0$ — вне корней.

1. $x(x + 3) > 0$, корни $-3$ и $0$; ветви вверх — трёхчлен положителен вне корней.
2. Неравенство строгое — концы не входят.

1. $(x - 4)(x + 4) \ge 0$: корни $\pm4$, знак «$\ge$» — вне корней, концы входят.

1. По теореме Виета корни $8$ и $9$ ($8 + 9 = 17$, $8 \cdot 9 = 72$).
2. Ветви вверх, знак «$<$» — между корнями, концы не входят.

• Делаем $a > 0$ (умножая на $-1$ и меняя знак), находим $D$ и корни.
• $D > 0$: «больше нуля» — вне корней, «меньше нуля» — между корнями.
• $D = 0$: «$> 0$» — все $x$, кроме $x_0$; «$< 0$» — нет решений. $D < 0$: «$> 0$» — все $x$, «$< 0$» — нет решений.
• Нестрогий знак — корни входят в ответ, квадратные скобки.