Уравнения и неравенства · 9 класс · урок 3 из 4 · Никольский, «Алгебра 9», § 1–2, п. 1.5

Неравенства с модулем

Сначала нужно знать: Модуль числа, системы линейных неравенств
Зачем этот урок: Основа для ЕГЭ №16 и задач с модулем: |f(x)| < a и |f(x)| > a
Дальше: Неравенства второй степени

Неравенства · урок 3

Три способа: определение, расстояние, график

Никольский, п. 1.5Пример 1. Три способа

Решите неравенство

|x| < 3

По определению модуля. Верно при $x = 0$ ; при $x > 0$ — это $x < 3$ , то есть $(0;\ 3)$ ; при $x < 0$ — это $-x < 3$ , то есть $(-3;\ 0)$ . Вместе: $-3 < x < 3$ .
Расстояние. $|x|$ — расстояние от точки $x$ до $0$ . Меньше $3$ оно у точек между $-3$ и $3$ .
График. Решения — те $x$ , при которых график $y = |x|$ лежит ниже прямой $y = 3$ .

Ответ: $(-3;\ 3)$

Никольский, п. 1.5Пример 2

Решите неравенство

|x| > 5

Расстояние от $x$ до нуля больше $5$ — точки левее $-5$ и правее $5$ .
По определению: при $x > 0$ получаем $x > 5$ ; при $x < 0$ — $-x > 5$ , то есть $x < -5$ ; $x = 0$ не подходит.

Ответ: $(-\infty;\ -5) \cup (5;\ +\infty)$

Общее правило

Запомнить: «меньше» — и (двойное неравенство, один промежуток), «больше» — или (два луча).

а) Все решения неравенства

|f(x)| < a

, где

a > 0

, — это все

x

, для которых

-a < f(x) < a

, то есть система

f(x) > -a

\ f(x) < a

. б) Все решения неравенства

|f(x)| > a

, где

a > 0

, — это все

x

f(x) > a

и все

x

f(x) < -a

(объединение).

Никольский, п. 1.5Пример 3

Решите неравенства: а)

|x - 3| < 4

; б)

|2x - 5| > 3

а) $-4 < x - 3 < 4$ , прибавим $3$ : $\ -1 < x < 7$ . Смысл: точки на расстоянии меньше $4$ от точки $3$ .
б) $2x - 5 > 3$ , то есть $x > 4$ , или $2x - 5 < -3$ , то есть $x < 1$ .

Ответ: а) $(-1;\ 7)$ ; б) $(-\infty;\ 1) \cup (4;\ +\infty)$

Никольский, п. 1.5Пример 4

Решите неравенство

\bigl|2|x| - 5\bigr| < 4

По правилу: $-4 < 2|x| - 5 < 4$ , то есть $1 < 2|x| < 9$ , $\ 0{,}5 < |x| < 4{,}5$ .
$|x| < 4{,}5$ — интервал $(-4{,}5;\ 4{,}5)$ ; $\ |x| > 0{,}5$ — лучи $x < -0{,}5$ и $x > 0{,}5$ .
Общая часть — два интервала.

Ответ: $(-4{,}5;\ -0{,}5) \cup (0{,}5;\ 4{,}5)$

Никольский, п. 1.5Пример 5

Решите неравенство

|x + 2| < 0{,}5x + 4

Справа выражение с $x$ , поэтому раскрываем модуль по определению.
$x \ge -2$ : $\ x + 2 < 0{,}5x + 4$ , $\ x < 4$ — промежуток $[-2;\ 4)$ .
$x < -2$ : $\ -x - 2 < 0{,}5x + 4$ , $\ -1{,}5x < 6$ , $\ x > -4$ — промежуток $(-4;\ -2)$ .
Объединяем: $(-4;\ 4)$ . На графике — где «уголок» $y = |x + 2|$ ниже прямой.

Ответ: $(-4;\ 4)$

Главное

$|x| < a$ ( $a > 0$ ) — $-a < x < a$ ; $\ |x| > a$ — $x < -a$ или $x > a$ .
$|f(x)| < a \iff -a < f(x) < a$ ; $\ |f(x)| > a \iff f(x) > a$ или $f(x) < -a$ .
$|x - c|$ — расстояние от $x$ до $c$ : $|x - 3| < 4$ — точки ближе $4$ к числу $3$ .
Если справа выражение с $x$ — раскрываем модуль на промежутках и объединяем ответы.

Все уроки станции «Неравенства»