Метод интервалов

Решаем неравенства $A(x) > 0$ и $A(x) < 0$, где $A(x)$ — многочлен. Находим его корни, отмечаем на оси $Ox$ и в каждом из получившихся интервалов определяем знак многочлена.

Объединение интервалов, где многочлен положителен, — решения $A(x) > 0$; где отрицателен — решения $A(x) < 0$.

1. $x^4 + 1 > 0$ при всех $x$ — на знак не влияет и на множители не раскладывается. Корни многочлена: $-2$ и $3$.
2. $(3;\ +\infty)$: $x + 2 > 0$, $x - 3 > 0$ — знак «$+$». $(-2;\ 3)$: $x + 2 > 0$, $x - 3 < 0$ — «$-$». $(-\infty;\ -2)$: оба отрицательны — «$+$».
3. Многочлен отрицателен на $(-2;\ 3)$.

Двучлен $x - x_0$ положителен правее точки $x_0$ и отрицателен левее. Это свойство лежит в основе метода.

$A(x) = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$, $\ x_1 < x_2 < x_3$. Правее $x_3$ все множители положительны: $A > 0$. Между $x_2$ и $x_3$ отрицателен только последний: $A < 0$. Между $x_1$ и $x_2$ отрицательны два: $A > 0$. Левее $x_1$ — три: $A < 0$.

При переходе через корень первой степени знак меняется. Сами корни решениями строгих неравенств не являются — ответ состоит из интервалов.

Важно, чтобы каждый множитель имел вид $x - x_i$ — с коэффициентом $1$ при $x$. Множитель $(4 - x)$ сначала записывают как $-(x - 4)$ и выносят минус, меняя знак неравенства.

1. Корни $1$, $2$, $3$. Справа налево: «$+$» на $(3;\ +\infty)$, «$-$» на $(2;\ 3)$, «$+$» на $(1;\ 2)$, «$-$» на $(-\infty;\ 1)$.
2. Берём интервалы со знаком «$+$».

Если множители стоят в степенях — $(x - 1)^3(x - 2)^2(x - 3)^4(x - 4)$, — правило уточняется.

Справа от наибольшего корня ставим «$+$». Двигаясь справа налево, при переходе через корень меняем знак, если соответствующий двучлен в нечётной степени, и сохраняем знак, если в чётной: чётная степень всюду положительна, кроме самого корня.

1. Правее $4$ — «$+$». Через $4$ (степень $1$, нечётная) знак меняется: «$-$» на $(3;\ 4)$.
2. Через $3$ (степень $4$) и через $2$ (степень $2$) знак сохраняется: «$-$» на $(2;\ 3)$ и $(1;\ 2)$.
3. Через $1$ (степень $3$) — меняется: «$+$» на $(-\infty;\ 1)$. Точки $2$ и $3$ — нули, их не берём.

1. $x^2 - 4x + 5$: $D = -4 < 0$ — положителен при всех $x$, на знак не влияет.
2. $4 - 3x - x^2 = -(x - 1)(x + 4)$. Неравенство: $-(x^2 - 4x + 5)(x + 4)(x - 1)^2 < 0$.
3. Множитель $-(x^2 - 4x + 5)$ отрицателен, поэтому справа от $1$ знак «$-$»; через $1$ (квадрат) знак сохраняется, через $-4$ меняется.

• Корни многочлена делят ось на интервалы; на каждом знак постоянен.
• Множители — в виде $x - x_i$; минус выносим, меняя знак неравенства; трёхчлены с $D < 0$ на знак не влияют.
• Справа «$+$», дальше: через корень нечётной степени знак меняется, чётной — сохраняется.
• Строгое неравенство — корни не входят в ответ.