Системы и нестрогие неравенства

Чтобы решить систему, решают каждое неравенство и находят общую часть множеств решений.

Если одно неравенство системы решений не имеет, вся система не имеет решений — остальные можно не решать. Такую систему называют несовместной.

1. а) Первое: $(-\infty;\ 1) \cup (5;\ 7)$. Второе: $(2;\ 3) \cup (4;\ +\infty)$. Общая часть — $(5;\ 7)$.
2. б) $x^2 - 6x + 10 = (x - 3)^2 + 1 > 0$ при всех $x$ — первое неравенство решений не имеет. Второе решать не нужно.

• Решения уравнения — корни числителя, не обращающие знаменатель в нуль. Они входят в ответ — закрашенные точки, квадратные скобки.
• Корни знаменателя не входят никогда — пустые точки, круглые скобки.
• Для многочлена ($B(x) = 1$): $A(x) \ge 0$ — объединение корней $A(x) = 0$ и решений $A(x) > 0$.

1. а) Уравнение $3x - 7 = 0$: $x = \dfrac73$; неравенство $3x - 7 > 0$: $x > \dfrac73$. Вместе: $\left[\dfrac73;\ +\infty\right)$.
2. б) Корни $-\dfrac12$ и $1$; $2x^2 - x - 1 < 0$ между ними. Добавляем корни: отрезок $\left[-\dfrac12;\ 1\right]$.
3. в) $9\left(x - \dfrac13\right)^2 \le 0$: строгое неравенство решений не имеет, равенство — при $x = \dfrac13$. Единственное решение.

1. Уравнение: $x = -2$ и $x = 4$ (знаменатель при них не нуль).
2. Неравенство $< 0$: корни $-3, -2, 0, 4$; знаки справа налево $+, -, +, -, +$ — интервалы $(-3;\ -2)$ и $(0;\ 4)$.
3. Объединяем: $-2$ и $4$ входят, $-3$ и $0$ — нет.

1. Уравнение: $x = -1$ и $x = 2$.
2. Неравенство $< 0$: равносильно $(x + 1)(x - 2)^2 x < 0$. Справа «$+$», через $2$ (квадрат) знак сохраняется, через $0$ меняется — «$-$» на $(-1;\ 0)$, через $-1$ снова «$+$».
3. Объединение: $[-1;\ 0)$ и изолированная точка $2$ — её легко потерять.

1. $\dfrac{x^2}{x - 3} - x \le 0$, $\ \dfrac{x^2 - x^2 + 3x}{x - 3} \le 0$, $\ \dfrac{3x}{x - 3} \le 0$.
2. Корень числителя $0$ — входит, корень знаменателя $3$ — нет. Дробь отрицательна между ними.

1. $3 - x = -(x - 3)$: $\ -\dfrac{x - 2}{x - 3} \ge 0$, то есть $\dfrac{x - 2}{x - 3} \le 0$.
2. Между корнями дробь отрицательна; $2$ входит (числитель), $3$ — нет (знаменатель).

• Система: решаем каждое неравенство, ответ — общая часть.
• $\ge$ и $\le$: к решениям строгого неравенства добавляем корни числителя.
• Корни знаменателя не входят никогда.
• Множитель в чётной степени может дать изолированную точку в ответе нестрогого неравенства.