Рациональные неравенства

Неравенство $\dfrac{A(x)}{B(x)} > 0$, где $A(x)$ и $B(x)$ — многочлены, называют рациональным неравенством.

Если $x_0$ — его решение, то $A(x_0)$ и $B(x_0)$ одного знака, а значит, $A(x_0) \cdot B(x_0) > 0$. И наоборот. Поэтому неравенства равносильны: дробь заменяем произведением и решаем методом интервалов.

1. а) Равносильно $(x - 3)(x - 2) > 0$: корни $2$, $3$, ответ вне корней — $(-\infty;\ 2) \cup (3;\ +\infty)$.
2. б) $x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$, $\ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$. Неравенство равносильно $(x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 3) < 0$.
3. Корни $-1, 1, 2, 3$; знаки справа налево $+, -, +, -, +$. Берём «$-$»: $(-1;\ 1)$ и $(2;\ 3)$.

1. Равносильно $(x - 1)(x - 2)^2 > 0$. Общий метод: справа от $2$ «$+$», через $2$ (квадрат) знак сохраняется — «$+$» на $(1;\ 2)$, через $1$ меняется.
2. Ответ $(1;\ 2) \cup (2;\ +\infty)$ — точка $2$ не входит: при $x = 2$ знаменатель равен нулю.
3. Если бы мы «сократили» дробь, получили бы $x - 1 > 0$ с решением $(1;\ +\infty)$ — в нём есть лишнее число $2$.

Неравенство $\dfrac{A_1(x)}{B_1(x)} > \dfrac{A_2(x)}{B_2(x)}$ тоже рациональное. Порядок решения:

1) перенести всё в левую часть; 2) вычесть дроби — не сокращая числитель и знаменатель на общие множители; 3) получить $\dfrac{A(x)}{B(x)} > 0$ и решить методом интервалов.

1. $\dfrac{x}{2x + 3} - \dfrac1x > 0$, $\ \dfrac{x^2 - 2x - 3}{x(2x + 3)} > 0$, $\ \dfrac{(x + 1)(x - 3)}{2x\left(x + \frac32\right)} > 0$.
2. Равносильно $\left(x + \dfrac32\right)(x + 1)\,x\,(x - 3) > 0$. Корни $-\dfrac32, -1, 0, 3$; знаки справа налево $+, -, +, -, +$.

1. Числитель $19 > 0$, дробь в нуль не обращается. Значит, $\le 0$ означает: знаменатель отрицателен.
2. $x^2 + x - 12 < 0$, $\ (x + 4)(x - 3) < 0$ — между корнями.
3. Концы $-4$ и $3$ не входят: в них знаменатель равен нулю.

1. Умножать на $x$ нельзя — знак $x$ неизвестен. Переносим: $x - \dfrac9x \le 0$, $\ \dfrac{x^2 - 9}{x} \le 0$, $\ \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x} \le 0$.
2. Корни числителя $\pm3$ входят (дробь равна нулю), корень знаменателя $0$ — нет.
3. Знаки справа налево $+, -, +, -$: берём «$-$».

• $\dfrac{A}{B} > 0 \iff A \cdot B > 0$; на знаменатель не умножаем.
• Сначала всё в одну часть и к общему знаменателю — без сокращений.
• Корни знаменателя всегда выколоты; корни числителя входят только в нестрогом неравенстве.
• Если числитель — число, знак дроби определяет знаменатель.