Замена неизвестного в неравенствах

• Заметить выражение с $x$, которое повторяется, и обозначить его $t$.
• Решить неравенство относительно $t$ — получится промежуток (или несколько).
• Вернуться к $x$: записать, что выражение принадлежит найденным промежуткам, и решить получившиеся неравенства или системы.
• Объединить ответы.

1. $t = x^2 - 4x - 1$: $\ t^2 - 3t - 4 \le 0$, корни $-1$ и $4$, решение $-1 \le t \le 4$.
2. Возвращаемся: $\begin{cases} x^2 - 4x - 1 \ge -1, \\ x^2 - 4x - 1 \le 4. \end{cases}$
3. Первое: $x(x - 4) \ge 0$ — $(-\infty;\ 0] \cup [4;\ +\infty)$. Второе: $x^2 - 4x - 5 \le 0$ — $[-1;\ 5]$.
4. Общая часть: $[-1;\ 0] \cup [4;\ 5]$.

1. $t = x^2 - 5x + 6$: $\ t + 1 - \dfrac6t \ge 0$, $\ \dfrac{t^2 + t - 6}{t} \ge 0$, $\ \dfrac{(t + 3)(t - 2)}{t} \ge 0$.
2. Методом интервалов: $-3 \le t < 0$ или $t \ge 2$.
3. $-3 \le x^2 - 5x + 6 < 0$: второе неравенство даёт $(2;\ 3)$, первое верно всегда ($D < 0$) — итого $(2;\ 3)$.
4. $x^2 - 5x + 6 \ge 2$: $\ x^2 - 5x + 4 \ge 0$ — $(-\infty;\ 1] \cup [4;\ +\infty)$.

1. $x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 = |x - 2|^2 - 4$. Неравенство: $|x - 2|^2 - 5|x - 2| + 6 \le 0$.
2. $t = |x - 2|$: $\ t^2 - 5t + 6 \le 0$, $\ 2 \le t \le 3$.
3. $2 \le |x - 2| \le 3$: расстояние от $x$ до $2$ от $2$ до $3$ — отрезки $[-1;\ 0]$ и $[4;\ 5]$.

В ЕГЭ №16 замена — главный приём: $t = 2^x$, $t = \log_2 x$, $t = x^2 + x$. После замены получается рациональное неравенство относительно $t$ — его решают методом интервалов, как в этой станции.

Удобно помнить ограничения на $t$: $t = (x - a)^2 \ge 0$, $\ t = |x - a| \ge 0$, позже — $t = 2^x > 0$. Отрицательные значения $t$ сразу отбрасываются.

• Повторяющееся выражение — новая буква $t$.
• Неравенство относительно $t$ решаем методом интервалов.
• Возвращаемся к $x$: двойное неравенство — это система, «или» — объединение.
• $x^2 - 4x$ и $|x - 2|$: $\ x^2 - 4x = |x - 2|^2 - 4$ — модуль становится новой переменной.