Числа и вычисления · 6 класс · урок 3 из 6 · Никольский, «Математика 6», гл. 4–5, п. 4.5–4.6

Умножение и деление десятичных дробей

Выход к заданиям: ОГЭ №1, ОГЭ №2, ОГЭ №3, ОГЭ №4, ОГЭ №5, ОГЭ №6, ОГЭ №12, ЕГЭ №13

Сначала нужно знать: Сложение десятичных дробей, перенос запятой
Зачем этот урок: ОГЭ, задание 6: произведение и частное десятичных дробей, дробные выражения
Дальше: Десятичные дроби и проценты

Десятичные дроби · урок 3

Умножение и деление

Правила запятой, деление уголком, дроби любого знака

Умножение

$25 \cdot 102 = 2550$ ; в множителях после запятой $1 + 2 = 3$ цифры: $2{,}550 = 2{,}55$ .

Для десятичных дробей верны переместительный, сочетательный и распределительный законы: $0{,}9 \cdot 0{,}2 + 0{,}2 \cdot 1{,}1 = 0{,}2 \cdot (0{,}9 + 1{,}1) = 0{,}4$ .

2{,}5 \cdot 1{,}02 = \frac{25}{10} \cdot \frac{102}{100} = \frac{2550}{1000} = 2{,}55

Чтобы перемножить две десятичные дроби, достаточно перемножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые, а в произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их было после запятых в обоих множителях вместе.

Никольский, Математика 6, п. 4.5Пример 1

Вычислите: а)

5{,}2 \cdot 0{,}4

; б)

7{,}1 \cdot 0{,}9

; в)

0{,}08 \cdot 0{,}13

а) $52 \cdot 4 = 208$ , знаков $1 + 1 = 2$ : $2{,}08$ .
б) $71 \cdot 9 = 639$ , знаков $2$ : $6{,}39$ .
в) $8 \cdot 13 = 104$ , знаков $2 + 2 = 4$ — дописываем нуль слева: $0{,}0104$ .

Ответ: $2{,}08$ ; $6{,}39$ ; $0{,}0104$

ОГЭ, задание 6Пример 2

Найдите значение выражения

8{,}1 \cdot 7{,}2

$81 \cdot 72 = 5832$ .
После запятой в множителях $1 + 1 = 2$ цифры: $58{,}32$ . Прикидка: $8 \cdot 7 = 56$ ✓.

Ответ: $58{,}32$

Деление на натуральное число

Пример 3 (с. 157). $47{,}8 : 2$ : $4$ десятка $: 2 = 2$ десятка; $7$ единиц $: 2 = 3$ (ост. $1$ ). Деление целой части закончено — ставим в частном запятую. $1$ единица $= 10$ десятых, с $8$ десятыми — $18$ десятых, $18 : 2 = 9$ . Ответ $23{,}9$ .

Если делимое «кончилось», а остаток не нуль, приписывают к дробной части нули и продолжают: $3 : 4 = 3{,}00 : 4 = 0{,}75$ .

Деление десятичной дроби на натуральное число выполняют так же, как деление натуральных чисел, но после окончания деления целой части в частном ставят запятую.

Деление на десятичную дробь

Пример 4 (с. 157). $4{,}42 : 0{,}2$ . В делителе одна цифра после запятой — переносим запятые в делимом и делителе на одну цифру вправо (оба увеличились в $10$ раз, частное не изменилось): $44{,}2 : 2 = 22{,}1$ .

Пример 5 (с. 158). $3{,}15 : 0{,}25 = 315 : 25 = 12{,}6$ : после деления целой части ставим запятую, приписываем $0$ десятых и продолжаем.

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, надо в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, и выполнить деление на натуральное число.

Никольский, Математика 6, п. 4.6Пример 3

Вычислите: а)

1 : 0{,}2

; б)

1 : 0{,}25

; в)

1 : 0{,}125

а) $10 : 2 = 5$ . б) $100 : 25 = 4$ . в) $1000 : 125 = 8$ .
Смысл: $0{,}2 = \dfrac15$ , $\ 0{,}25 = \dfrac14$ , $\ 0{,}125 = \dfrac18$ , а деление на $\dfrac1n$ — это умножение на $n$ .

Ответ: $5$ ; $4$ ; $8$

ОГЭ, задание 6Пример 4

Найдите значение выражения

\dfrac{4{,}8}{0{,}4}

Черта дроби — деление: $4{,}8 : 0{,}4$ . Переносим запятые на одну цифру вправо: $48 : 4 = 12$ .

Ответ: $12$

Десятичные дроби любого знака

Действия с отрицательными десятичными дробями выполняют как с целыми числами: сначала определяют знак результата, потом действуют с модулями (п. 4.9, с. 168).

$3{,}2 - 8{,}9 = -(8{,}9 - 3{,}2) = -5{,}7$ ; $\quad 7{,}8 \cdot (-0{,}5) = -(7{,}8 \cdot 0{,}5) = -3{,}9$ ; $\quad (-4{,}2) : (-0{,}6) = 42 : 6 = 7$ .

ОГЭ, задание 6Пример 5

Найдите значение выражения

5{,}7 - 7{,}6

Вычитаемое больше — результат отрицательный: $-(7{,}6 - 5{,}7)$ .
$7{,}6 - 5{,}7 = 1{,}9$ , ответ $-1{,}9$ .

Ответ: $-1{,}9$

Главное

Умножение: как натуральные числа, затем отделить справа столько знаков, сколько в обоих множителях.
Деление на натуральное число: запятая в частном — когда кончилась целая часть делимого.
Деление на десятичную дробь: перенести запятые вправо, чтобы делитель стал натуральным.
Знак результата — по правилам для целых чисел; прикидка ловит ошибку в запятой.

Умножение и деление десятичных дробей

Все уроки станции «Десятичные дроби»