Числа и вычисления · 6 класс · урок 4 из 6 · Никольский, «Математика 6», гл. 4–5, п. 4.7–4.8

Десятичные дроби и проценты. Сложные задачи на проценты

Выход к заданиям: ОГЭ №1, ОГЭ №2, ОГЭ №3, ОГЭ №4, ОГЭ №5, ОГЭ №6, ОГЭ №12, ЕГЭ №13

Сначала нужно знать: Понятие процента, умножение десятичных дробей
Зачем этот урок: ОГЭ: проценты, повышение цены, вклады; ВПР «Действия с процентами»
Дальше: Округление

Десятичные дроби · урок 4

Проценты и десятичные дроби

p % = 0,0p; увеличение и уменьшение умножением; простые и сложные проценты

Процент — это сотая

$p\% = \dfrac p{100}$ — это десятичная дробь: запятую в $p$ переносят на два знака влево.

Поэтому задачи двух основных типов решают умножением и делением на десятичную дробь: $p\%$ от $A$ $= A \cdot 0{,}0p$ ; число, $p\%$ которого равны $B$ , $= B : 0{,}0p$ .

1\% = 0{,}01, \quad 13\% = 0{,}13, \quad 5\% = 0{,}05, \quad 120\% = 1{,}2

Никольский, Математика 6, п. 4.7Задачи 1–3

а) Найти

13\%

от

60

м. б) Найти число,

35\%

которого равны

700

. в) Из

40

посаженных семян взошли

37

. Определите процент всхожести.

а) $13\% = 0{,}13$ : $\ 60 \cdot 0{,}13 = 7{,}8$ (м).
б) $700 : 0{,}35 = 70\,000 : 35 = 2000$ .
в) $\dfrac{37}{40} \cdot 100 = \dfrac{3700}{40} = 92{,}5\%$ .

Ответ: а) $7{,}8$ м; б) $2000$ ; в) $92{,}5\%$

ОГЭПример 1

Средний вес мальчиков того же возраста, что и Сергей, равен

48

кг. Вес Сергея составляет

120\%

среднего веса. Сколько весит Сергей?

$120\% = 1{,}2$ : $\ 48 \cdot 1{,}2 = 57{,}6$ (кг).
Проверка: $10\%$ от $48$ — это $4{,}8$ , а $20\%$ — $9{,}6$ ; $48 + 9{,}6 = 57{,}6$ ✓.

Ответ: $57{,}6$

ВПР 5 классПример 2

Сколько процентов соли содержит раствор, приготовленный из

35

г соли и

165

г воды?

Масса раствора: $35 + 165 = 200$ г — проценты считают от всего раствора, а не от воды.
$\dfrac{35}{200} \cdot 100 = 17{,}5\%$ .

Ответ: $17{,}5$

Увеличение и уменьшение умножением

Увеличить на $10\%$ : $a + 0{,}10a = 1{,}10a$ — умножить на $1{,}1$ . Уменьшить на $10\%$ — умножить на $0{,}9$ .

Задача 1 (с. 163). Цену увеличили на $10\%$ , затем снизили на $10\%$ : $a \cdot 1{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}99a$ . Новая цена — $99\%$ первоначальной, а не $100\%$ .

Товар стоил $150$ р., цена повысилась на $12\%$ : $150 \cdot 1{,}12 = 168$ р. (№ 862).

a \xrightarrow{+p\%} a \cdot (1 + 0{,}0p), \qquad a \xrightarrow{-p\%} a \cdot (1 - 0{,}0p)

Простые и сложные проценты

Задача 2 (с. 164). Вклад $40\,000$ р., банк начисляет ежемесячно $5\%$ на первоначальную сумму: каждый месяц $0{,}05 \cdot 40\,000 = 2000$ р., за $3$ месяца — $6000$ р. Это простые проценты.

Задача 4 (с. 165). Если $5\%$ начисляют на сумму, которая сейчас на счёте: $40\,000 \cdot 1{,}05 = 42\,000$ ; $\ 42\,000 \cdot 1{,}05 = 44\,100$ ; $\ 44\,100 \cdot 1{,}05 = 46\,305$ р. Доход $6305$ р.

Начисление на изменяющуюся сумму — сложные проценты; формула сверху — формула сложных процентов: за $n$ месяцев вклад увеличивается в $\left(1 + \dfrac p{100}\right)^n$ раз.

S = a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n

Никольский, Математика 6, п. 4.8Пример 3

а) В драмкружке число мальчиков составляет

80\%

от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек от числа мальчиков? б) Имеется

600

г раствора, содержащего

15\%

соли. Сколько воды нужно добавить, чтобы раствор стал содержать

10\%

соли?

а) Мальчиков $0{,}8d$ , где $d$ — число девочек. Девочки от мальчиков: $\dfrac{d}{0{,}8d} = 1{,}25 = 125\%$ .
б) Соли: $600 \cdot 0{,}15 = 90$ г, и при добавлении воды её количество не меняется.
$90$ г должны составлять $10\%$ нового раствора: $90 : 0{,}1 = 900$ г. Воды добавить $900 - 600 = 300$ г.

Ответ: а) $125\%$ ; б) $300$ г

Главное

$p\% = 0{,}0p$ : проценты от числа — умножение, число по процентам — деление.
Увеличить на $p\%$ — умножить на $1 + \dfrac p{100}$ ; уменьшить — на $1 - \dfrac p{100}$ .
Повышение и понижение на одинаковое число процентов не компенсируют друг друга.
Простые проценты — от начальной суммы, сложные — от текущей: $S = a\left(1 + \dfrac p{100}\right)^n$ .

Десятичные дроби и проценты. Сложные задачи на проценты

Все уроки станции «Десятичные дроби»