Обыкновенная дробь в десятичную. Периодические дроби

Конечную десятичную дробь всегда можно записать обыкновенной. Знаменатель после сокращения — делитель степени $10 = 2 \cdot 5$, в нём нет простых множителей, кроме $2$ и $5$.

Верно и обратное: если знаменатель несократимой дроби $\dfrac pq$ не имеет других простых делителей, кроме $2$ и $5$, то эта дробь разлагается в конечную десятичную дробь.

• Домножить до степени десяти: $\dfrac45 = \dfrac{8}{10} = 0{,}8$; $\ \dfrac34 = \dfrac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \dfrac{75}{100} = 0{,}75$; $\ \dfrac{201}{200} = \dfrac{1005}{1000} = 1{,}005$.
• Разделить числитель на знаменатель уголком: $3 : 4 = 3{,}00 : 4 = 0{,}75$.
• Первый способ быстрее, когда видно, на что домножить ($2$, $4$, $5$, $8$, $25$, $125$); второй работает всегда.

1. Сначала сокращаем, потом раскладываем знаменатель на простые множители.
2. а) $7$ — нет. б) $\dfrac{6}{48} = \dfrac18 = \dfrac{1}{2^3}$ — да: $0{,}125$. в) $352 = 2^5 \cdot 11$ — нет.
3. г) $\dfrac{21}{75} = \dfrac{7}{25}$ — да: $0{,}28$. д) $300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$, дробь несократима, есть множитель $3$ — нет.

Пример 1 (с. 191). У $\dfrac79$ знаменатель имеет простой делитель $3$ — конечного разложения нет. Делим уголком: на каждом шаге остаток $7$ и в частном цифра $7$; процесс бесконечен.

$0{,}777\ldots$ называют бесконечной периодической десятичной дробью и записывают $0{,}(7)$ — «нуль целых и семь в периоде». Цифра $7$ — период.

$\dfrac79$ и $0{,}(7)$ — две записи одного и того же числа.

Делим $88$ на $7$ уголком. Когда все цифры делимого снесены, дальше сносим нули, а остатки — числа от $1$ до $6$ (меньше делителя и не нуль).

Среди первых семи остатков обязательно найдутся два равных — с этого места цифры частного начнут повторяться.

Итак, любое положительное рациональное число разлагается в бесконечную периодическую десятичную дробь (конечную считают периодической с периодом $0$).

1. а) $x = 0{,}888\ldots$, $\ 10x = 8{,}888\ldots$ Вычтем: $9x = 8$, $\ x = \dfrac89$.
2. б) $x = 2{,}35777\ldots$; $\ 100x = 235{,}777\ldots$, $\ 1000x = 2357{,}777\ldots$
3. $900x = 2357 - 235 = 2122$, $\ x = \dfrac{2122}{900} = \dfrac{1061}{450}$.

Бывают бесконечные десятичные дроби без периода: $0{,}01001000100001\ldots$ (между единицами всё больше нулей), $0{,}123456789101112\ldots$ (подряд выписаны натуральные числа).

Число, которое записывается бесконечной непериодической десятичной дробью, называют иррациональным. Рациональные и иррациональные числа вместе называют действительными.

Любое действительное число — бесконечная десятичная дробь: периодическая, если число рациональное, непериодическая — если иррациональное.

1. Знаменатель: $1 + \dfrac19 = \dfrac{10}{9}$ — десятичной дробью не записать ($9 = 3^2$), поэтому считаем в обыкновенных.
2. $0{,}4 : \dfrac{10}9 = \dfrac25 \cdot \dfrac9{10} = \dfrac{18}{50} = \dfrac{36}{100} = 0{,}36$.

• Несократимая $\dfrac pq$ — конечная десятичная, если в $q$ только множители $2$ и $5$.
• Иначе — бесконечная периодическая: $\dfrac79 = 0{,}(7)$, $\ \dfrac{88}7 = 12{,}(571428)$.
• Периодическую дробь переводят в обыкновенную, умножая на $10^k$ и вычитая.
• Непериодические дроби — иррациональные числа; вместе с рациональными — действительные.