Округление и приближённые вычисления

Если число $a_1$ мало отличается от $a$, пишут $a \approx a_1$ и говорят, что $a_1$ — приближение числа $a$. Если $a_1 < a$ — приближение с недостатком (снизу), если $a_1 > a$ — с избытком (сверху).

$a = 2{,}32825$. Оборвём на втором знаке: $2{,}32 < a < 2{,}33$. $2{,}32$ — приближение с точностью до одной сотой с недостатком, $2{,}33$ — с избытком.

Третья цифра после запятой больше $5$, значит, $a$ ближе к $2{,}33$: $2{,}33$ — приближение с точностью до $0{,}01$ с округлением.

$a = 2{,}32825$: до тысячных — $2{,}328$ (отбрасываем $2$); до десятитысячных — $2{,}3283$ (отбрасываем $5$: число ровно посередине, по правилу округляют вверх).

Для отрицательных: $b = -2{,}32829$, $\ -2{,}33 < b < -2{,}32$; с округлением до сотых $b \approx -2{,}33$. Округляют модуль и ставят знак.

Натуральные числа округляют до десятков, сотен, тысяч, заменяя отброшенные цифры нулями: $27\,300 \approx 27\,000$.

1. а) $0{,}2 < 0{,}2638 < 0{,}3$: с недостатком $0{,}2$.
2. б) $0{,}26 < 0{,}2638 < 0{,}27$: с избытком $0{,}27$.
3. в) Отбрасываем $8 \ge 5$ — увеличиваем: $0{,}264$.

Значащей цифрой десятичной дроби называют её первую (слева направо) отличную от нуля цифру, а также все следующие за ней цифры. В $0{,}302$ значащие — $3, 0, 2$; в $0{,}003004$ — начиная с $3$.

Округлить до третьей значащей цифры — округлить до того разряда, где она стоит: $3{,}7523 \approx 3{,}75$; $\ -0{,}010278 \approx -0{,}0103$; $\ 0{,}035021 \approx 0{,}0350$.

Для больших чисел: $2\,365\,780 \approx 2\,370\,000 = 2{,}37 \cdot 10^6$.

Сложение и вычитание (с. 172): числа округляют до одного разряда и действуют. $a = 23{,}1834567 \approx 23{,}18$, $\ b = -4{,}2375 \approx -4{,}24$: $\ a + b \approx 18{,}94$, $\ a - b \approx 27{,}42$.

Умножение и деление: числа округляют до одной и той же значащей цифры, действуют и результат округляют до той же значащей цифры. $a = 135{,}78665 \approx 136$, $\ b = 0{,}0068751 \approx 0{,}00688$: $\ ab \approx 0{,}93568 \approx 0{,}936$; $\ a : b \approx 19\,767 \approx 19\,800$.

Точность важна (с. 173): $1{,}445^2 = 2{,}088025$; до первой значащей $1 \cdot 1 = 1$ — ошибка около $52\%$; до второй $1{,}4^2 = 1{,}96 \approx 2{,}0$ — около $4\%$; до третьей $1{,}45^2 \approx 2{,}10$ — меньше $1\%$.

1. $70\,000 \cdot 0{,}39 = 27\,300$.
2. До тысяч: отбрасываемая цифра сотен $3 < 5$ — $27\,000$.

1. $\dfrac{17}{60} \cdot 100 = \dfrac{170}{6} = 28{,}33\ldots$
2. До целых: первая отброшенная цифра $3 < 5$ — $28$.

• Приближение с недостатком — меньше числа, с избытком — больше; с округлением — ближайшее.
• Первая отброшенная цифра $\ge 5$ — последнюю оставшуюся увеличить на $1$.
• Значащие цифры — начиная с первой ненулевой слева.
• При сложении — округлять до одного разряда; при умножении и делении — до одной значащей цифры.