Закон всемирного тяготения

Опыты Галилея показали: в данном месте Земля сообщает всем телам одно и то же ускорение, независимо от их массы.

По второму закону $g = \dfrac{F}{m}$. Ускорение не зависит от массы, только если сила притяжения пропорциональна массе тела: вдвое большая масса — вдвое большая сила, а их отношение то же.

Но в притяжении участвуют два тела, и по третьему закону силы на них равны. Значит, сила пропорциональна массе каждого из тел:

Будем считать орбиты круговыми (для планет это хорошее приближение). Ускорение планеты центростремительное: $a = \omega^2 R = \dfrac{4\pi^2}{T^2}R$.

Для двух планет $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{T_2^2}{T_1^2}\cdot\dfrac{R_1}{R_2}$, а по третьему закону Кеплера $\dfrac{T_2^2}{T_1^2} = \dfrac{R_2^3}{R_1^3}$. Отсюда

Объединив $F \sim m_1m_2$ и $F \sim \dfrac{1}{R^2}$, Ньютон в 1687 году открыл закон всемирного тяготения:

Сила взаимного притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

• Сила направлена вдоль прямой, соединяющей тела, — такие силы называют центральными.
• Закон справедлив для материальных точек и для однородных шаров (тогда $R$ — расстояние между центрами).
• Для тела у Земли $R$ — расстояние до центра Земли.

• $G$ очень мала, поэтому тяготение между обычными телами ничтожно: два свинцовых шара радиусом $30$ см, соприкасаясь, притягиваются с силой около $3 \cdot 10^{-4}$ Н.
• Но при огромных массах небесных тел силы тяготения громадны — они держат планеты у Солнца.
• Тяготение действует между любыми телами, обладающими массой.
• Масса во втором законе — инертная, в законе тяготения — гравитационная. Опыт показывает, что они равны; поэтому говорят просто о массе тела.

1. На поверхности расстояние до центра Земли $R$, на орбите — $3R$: расстояние выросло втрое.
2. Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния — уменьшится в $3^2 = 9$ раз.
3. $F = \dfrac{720}{9} = 80$ Н.

1. $F \sim \dfrac{1}{R^2}$: расстояние меньше в $1{,}5$ раза — сила больше в $1{,}5^2 = 2{,}25$ раза.
2. $F = 0{,}16 \cdot 2{,}25 = 0{,}36$ пН.

1. В законе тяготения — расстояние до центра Земли: было $R + R = 2R$, стало $R + 3R = 4R$.
2. Расстояние выросло вдвое, сила уменьшилась в $2^2 = 4$ раза.
3. Частая ошибка — взять отношение высот $3 : 1$ и получить $9$.

1. $\dfrac{F_{\text{З}}}{F_{\text{М}}} = \dfrac{m_{\text{З}}}{m_{\text{М}}}\cdot\dfrac{R_{\text{М}}^2}{R_{\text{З}}^2}$ — масса Солнца сокращается.
2. $22{,}5 = 10 \cdot \left(\dfrac{R_{\text{М}}}{R_{\text{З}}}\right)^2$, откуда $\left(\dfrac{R_{\text{М}}}{R_{\text{З}}}\right)^2 = 2{,}25$.
3. $\dfrac{R_{\text{М}}}{R_{\text{З}}} = 1{,}5$.

1. Масса шара: $m = \rho \cdot \dfrac{4}{3}\pi r^3 = 11\,300 \cdot \dfrac{4}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}027 \approx 1278$ кг.
2. Шары однородные — считаем расстояние между центрами: $R = 2r = 0{,}6$ м.
3. $F = G\dfrac{m^2}{R^2} = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \dfrac{1278^2}{0{,}36} \approx 3 \cdot 10^{-4}$ Н.

• Законы Кеплера: орбиты — эллипсы, равные площади за равное время, $T^2 \sim b^3$.
• Закон всемирного тяготения: $F = G\dfrac{m_1m_2}{R^2}$, сила направлена вдоль линии, соединяющей тела.
• $R$ — расстояние между центрами (точки, однородные шары); у Земли — до её центра.
• $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг² — измерил Кавендиш крутильными весами.
• Расстояние в $n$ раз больше — сила в $n^2$ раз меньше.