Механика · 10 класс · урок 8 из 8 · Мякишев, «Физика 10» (2019), гл. 3, § 16–22; Мякишев, «Механика 10» (профильный), гл. 3, проф. § 2.9–2.11, 3.17

Задачи динамики: наклонная плоскость, связанные тела

Выход к заданиям: ЕГЭ №2, ЕГЭ №22, ЕГЭ №26

Сначала нужно знать: Законы Ньютона, силы тяжести, упругости и трения
Зачем этот урок: ЕГЭ №2 и №26: брусок на склоне, грузы на нити через блок, подвижный блок — общий порядок решения
Дальше: Импульс. Второй закон Ньютона в импульсной форме

Силы в механике · урок 8

Один порядок решения на все задачи

Порядок решения задач динамики

Выбрать тело (или каждое тело системы) и изобразить все силы, действующие на него, понимая, со стороны каких тел они действуют.
Выбрать систему отсчёта и оси: при прямолинейном движении одну ось — вдоль движения, другую — перпендикулярно.
Для каждого тела записать второй закон в векторной форме, затем — в проекциях на оси.
Для связанных тел добавить кинематические условия — связи между ускорениями.
Решить в общем виде, проверить единицы и предельные случаи, затем подставить числа.

Мякишев, «Механика 10», § 2.14. Если направление искомой силы неизвестно, находят её проекции и уже по ним — модуль и направление.

Нити и блоки: что считаем

Нить невесома — натяжение одинаково во всех её сечениях: для нити $m_{\text{н}}\vec{a} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ , при $m_{\text{н}} = 0$ $\;F_1 = F_2$ .
Нить нерастяжима — тела на ней имеют одинаковые по модулю ускорения вдоль нити (и через неподвижный блок тоже).
Блок невесом и без трения — натяжение по обе стороны одинаково.
Подвижный блок: если груз A висит на нити, огибающей подвижный блок с грузом B, то A проходит вдвое больший путь: $a_A = 2a_B$ .

Брусок на наклонной плоскости

Оси: $X$ — вдоль склона, $Y$ — перпендикулярно. Сила тяжести раскладывается на $mg\sin\alpha$ вдоль склона и $mg\cos\alpha$ поперёк:

N = mg\cos\alpha, \qquad ma = mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha \ \ (\text{соскальзывание}).

Соскальзывание: $a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$ .
Движение вверх по инерции: трение тоже вниз, $a = g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$ — тормозит сильнее.
Тянут силой $F$ вдоль склона вверх: $ma = F - mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha$ .

Брусок на столе и груз на нити

Брусок $m_1$ на столе связан нитью через блок с грузом $m_2$ . Ускорения равны по модулю, натяжение одно:

m_1a = T - \mu m_1g, \quad m_2a = m_2g - T \;\Longrightarrow\; a = \frac{m_2 - \mu m_1}{m_1 + m_2}\,g.

$T = m_2(g - a)$ — натяжение меньше силы тяжести груза $m_2g$ : иначе груз не падал бы с ускорением.
Если на столе цепочка брусков $m_1, m_2, m_3$ и висит $m_4$ (без трения), $a = \dfrac{m_4g}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4}$ , а натяжения нитей убывают от блока к концу цепочки.

Машина Атвуда

Два груза $m_1 < m_2$ на нити, перекинутой через неподвижный блок. Ось для каждого — по направлению его движения:

a = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}\,g, \qquad T = \frac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}\,g.

Натяжение лежит между $m_1g$ и $m_2g$ .
Блок давит на ось с силой $2T$ — её показывает динамометр, на котором висит блок.
Вывод через систему: сложим уравнения $m_2a = m_2g - T$ и $m_1a = T - m_1g$ — натяжение сократится.

ОпытНити и блоки

Брусок $2$ кг на столе ( $\mu = 0{,}2$ ) связан с грузом $4$ кг.
До пуска посчитай: $a = \dfrac{m_2 - \mu m_1}{m_1 + m_2}g = \dfrac{4 - 0{,}4}{6} \cdot 9{,}8 \approx 5{,}9$ м/с² и $T = m_2(g - a)$ .
Запусти и сверь. Затем выключи «Груз на столе» — получится машина Атвуда: найди $a$ по формуле и проверь.

Стрелки натяжения у бруска и у груза одинаковые — невесомая нить передаёт одну и ту же силу.

ФизЛаб · Нити и блокиm₁ = 2 кг на столе, m₂ = 4 кг, μ = 0,2matfizliga.ru/fizlab/#atwood?m1=2&m2=4&mu=0.2&table=1

ЕГЭ, задание 2Пример 1

Тележка массой

0{,}1

кг удерживается нитью на гладкой наклонной плоскости с углом

30°

(нить параллельна плоскости). Чему равна сила натяжения нити?

g = 10

м/с².

На тележку действуют $m\vec{g}$ , $\vec{N}$ и $\vec{T}$ ; она покоится.
Проекция на ось вдоль склона: $T - mg\sin 30° = 0$ .
$T = 0{,}1 \cdot 10 \cdot 0{,}5 = 0{,}5$ Н.

Ответ: 0,5

ЕГЭ, задание 2Пример 2

Брусок массой

m

двигают равномерно вверх по наклонной шероховатой плоскости с углом

\alpha

, коэффициент трения

\mu

. Модуль силы трения равен: 1)

F

; 2)

0

; 3)

\mu mg\cos\alpha

; 4)

\mu mg

Брусок скользит — трение скольжения: $F_{\text{тр}} = \mu N$ .
По оси, перпендикулярной склону: $N = mg\cos\alpha$ .
$F_{\text{тр}} = \mu mg\cos\alpha$ — вариант 3. Вариант 4 — частая ошибка: $N \ne mg$ на склоне.

Ответ: 3

ЕГЭ, задание 2Пример 3

К бруску массой

3

кг на закреплённой шероховатой наклонной плоскости приложена сила

F = 12

Н вдоль плоскости вверх, брусок движется вверх с ускорением. На сколько изменится ускорение, если заменить брусок другим из того же материала массой

\dfrac{2}{3}

от прежней? Ответ в м/с².

$ma = F - mg(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$ , откуда $a = \dfrac{F}{m} - g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$ .
Второе слагаемое от массы не зависит и при замене бруска сократится.
$\Delta a = \dfrac{F}{m_2} - \dfrac{F}{m_1} = \dfrac{12}{2} - \dfrac{12}{3} = 2$ м/с².

Ответ: 2

Мякишев, § 20Пример 4

Два тела массами

5

кг и

2

кг, связанные невесомой нерастяжимой нитью, движутся по горизонтальной плоскости под действием силы

40

Н, приложенной к телу

5

кг под углом

30°

к горизонту (вверх). Коэффициент трения

0{,}2

. Найдите ускорение тел и натяжение нити.

g = 9{,}8

м/с².

Тело 1: по вертикали $N_1 = m_1g - F\sin 30° = 49 - 20 = 29$ Н; по горизонтали $m_1a = F\cos 30° - T - \mu N_1$ .
Тело 2: $N_2 = m_2g = 19{,}6$ Н; $m_2a = T - \mu N_2$ .
Складываем: $(m_1 + m_2)a = F\cos 30° - \mu(N_1 + N_2)$ , $a = \dfrac{34{,}64 - 9{,}72}{7} \approx 3{,}56$ м/с².
$T = m_2a + \mu m_2g = 2 \cdot 3{,}56 + 3{,}92 \approx 11$ Н.

Ответ: $\approx 3{,}6$ м/с²; $\approx 11$ Н

Мякишев, проф. § 2.14Пример 5

Найдите натяжения нитей в устройстве с подвижным блоком: груз

m_1 = 3

кг висит на нити, перекинутой через неподвижный блок и огибающей подвижный блок, на котором висит груз

m_2 = 2

кг. Массы нитей и блоков не учитывать,

g = 9{,}8

м/с².

Ось $Y$ вверх. Груз 1: $m_1a_1 = T_1 - m_1g$ . Подвижный блок с грузом 2 тянут вверх две ветви нити: $m_2a_2 = 2T_1 - m_2g$ .
Кинематическая связь подвижного блока: $a_1 = -2a_2$ .
Подставляем: $a_2 = \dfrac{(2m_1 - m_2)g}{m_2 + 4m_1} = \dfrac{4 \cdot 9{,}8}{14} = 2{,}8$ м/с² (груз 2 идёт вверх).
$T_1 = m_1(g + a_1) = m_1(g - 2a_2) = 3 \cdot (9{,}8 - 5{,}6) = 12{,}6$ Н, $T_2 = 2T_1 = 25{,}2$ Н.

Ответ: $T_1 = 12{,}6$ Н, $T_2 = 25{,}2$ Н

Главное

Порядок: силы на каждое тело → оси → второй закон в проекциях → связи между ускорениями → общий вид → числа.
Невесомая нерастяжимая нить: одно натяжение, равные ускорения; подвижный блок — $a_A = 2a_B$ .
Наклонная плоскость: $N = mg\cos\alpha$ , вдоль склона $mg\sin\alpha$ и трение $\mu mg\cos\alpha$ против скорости.
Стол + груз: $a = \dfrac{m_2 - \mu m_1}{m_1 + m_2}g$ ; Атвуд: $a = \dfrac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}g$ , $T = \dfrac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}g$ .
Натяжение нити с ускоренным грузом не равно его весу $mg$ .

Задачи динамики: наклонная плоскость, связанные тела

Все уроки станции «Силы в механике»