Механика · 10 класс · урок 6 из 8 · Мякишев, «Физика 10» (2019), гл. 3, § 16–22; Мякишев, «Механика 10» (профильный), гл. 3, § 21

Сопротивление среды

Выход к заданиям: ЕГЭ №2, ЕГЭ №22, ЕГЭ №26

Сначала нужно знать: Сила трения, второй закон Ньютона
Зачем этот урок: Установившаяся скорость, падение с сопротивлением воздуха — ЕГЭ №5–6 и качественные вопросы второй части
Дальше: Динамика движения по окружности

Силы в механике · урок 6

Сила сопротивления при движении в жидкостях и газах

Почему капли дождя не разгоняются до сотен метров в секунду

Сила вязкого трения

Когда твёрдое тело движется в жидкости или газе (или один слой жидкости — относительно другого), возникает сила, тормозящая движение, — сила вязкого трения, или сила сопротивления.

Она направлена против скорости тела относительно среды и обычно значительно меньше силы сухого трения — поэтому трущиеся детали машин смазывают.

Трения покоя в жидкостях и газах нет. Сила сопротивления появляется только при движении относительно среды — поэтому тяжёлую баржу можно сдвинуть руками.

От чего зависит сопротивление

от размеров и формы тела и состояния его поверхности;
от свойств среды — её вязкости;
от скорости тела относительно среды.
Обтекаемая сигарообразная форма (капля, рыба, фюзеляж) уменьшает сопротивление до $\tfrac{1}{25}$ сопротивления цилиндра того же сечения.
Парашюту, наоборот, нужно большое сопротивление — его делают в форме полусферы.

Зависимость от скорости

При нулевой относительной скорости силы сопротивления нет. С ростом скорости она растёт сначала медленно, потом всё быстрее:

F_{\text{с}} = k_1 v \ \ (\text{малые скорости}), \qquad F_{\text{с}} = k_2 v^2 \ \ (\text{большие скорости}).

$k_1$ в Н·с/м $=$ кг/с, $k_2$ в Н·с²/м² $=$ кг/м — коэффициенты сопротивления, $k_1 \ne k_2$ .
Какой закон применять, устанавливают опытом.

Установившееся движение

Шарик падает в глицерине. Уравнение движения: $ma = F - kv$ , где $F$ — сумма силы тяжести и силы Архимеда.

В начале скорость мала, сопротивление тоже, $a \approx g$ . Скорость растёт — растёт и сопротивление, ускорение уменьшается. Когда $F = kv$ , ускорение становится нулём:

v_{\text{уст}} = \frac{F}{k}.

Любое тело в вязкой среде под действием постоянной силы в конце концов движется равномерно. Чем тяжелее тело при прочих равных, тем больше установившаяся скорость.

Примеры установившихся скоростей

Капли дождя падают с установившейся скоростью порядка нескольких метров в секунду.
Авиационная бомба — несколько сотен метров в секунду; такую скорость она набирает лишь при падении с $5$ – $6$ км.
Парашютист раскрывает купол — сопротивление резко растёт, скорость падает до нескольких метров в секунду и дальше постоянна.
Без сопротивления дальность стрельбы корабельного орудия была бы $65$ км, а реально она $20$ км.

Пловец, прыгая в воду, выставляет вперёд сложенные руки — придаёт телу обтекаемую форму.

ОпытБросок с сопротивлением воздуха

Пунктир — траектория в вакууме, сплошная линия — с сопротивлением воздуха.
До выстрела: где окажется настоящая точка падения — ближе или дальше пунктира? Будет ли траектория симметричной?
Кликни по полю — выстрел. Сравни высоту и дальность.
Увеличь коэффициент сопротивления до $0{,}05$ : как изменилась траектория на спуске?

С сопротивлением траектория уже не парабола: подъём длиннее и пологий, спуск круче — горизонтальная скорость всё время гаснет.

ФизЛаб · Баллистикаv₀ = 32 м/с, угол 45°, k = 0,02 1/мmatfizliga.ru/fizlab/#proj?v0=32&ang=45&k=0.02&air=1

ЕГЭ, задание 6Пример 1

Камень бросили вертикально вверх при наличии сопротивления воздуха. Он проходит точку A дважды — на подъёме и на спуске. Как изменяются модуль ускорения и модуль скорости камня при втором прохождении по сравнению с первым? 1 — увеличивается, 2 — уменьшается, 3 — не изменяется.

На подъёме сила сопротивления направлена вниз, как и тяжесть: $a_1 = g + \dfrac{F_{\text{с}}}{m}$ .
На спуске сопротивление направлено вверх: $a_2 = g - \dfrac{F_{\text{с}}}{m}$ . Модуль ускорения уменьшился — $2$ .
Сопротивление всё время отбирает механическую энергию: на той же высоте кинетическая энергия, а значит и скорость, меньше — $2$ .

Ответ: 22

Мякишев, § 21Пример 2

Масса аэростата с балластом

1200

кг, сила Архимеда

8000

Н. Аэростат равномерно опускается. Какую массу балласта нужно сбросить, чтобы он равномерно поднимался с той же по модулю скоростью?

g = 9{,}8

м/с².

Спуск равномерный, сопротивление направлено вверх: $Mg = F_A + F_{\text{с}}$ .
Подъём с той же скоростью — та же по модулю сила сопротивления, теперь вниз: $(M - \Delta m)g + F_{\text{с}} = F_A$ .
Сложив уравнения: $\Delta m = \dfrac{2(Mg - F_A)}{g} = \dfrac{2(11\,760 - 8000)}{9{,}8} \approx 767$ кг.

Ответ: $\approx 767$ кг

Мякишев, § 21Пример 3

При скоростном спуске лыжник шёл по склону

45°

, не отталкиваясь палками. Коэффициент трения

0{,}1

, сила сопротивления воздуха

F_{\text{с}} = k_2v^2

k_2 = 0{,}7

кг/м, масса лыжника

90

кг. Какую максимальную скорость он мог развить?

g = 9{,}8

м/с².

Максимальная скорость — установившаяся: ускорение ноль.
Вдоль склона: $mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha - k_2v^2 = 0$ .
$v = \sqrt{\dfrac{mg(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)}{k_2}} = \sqrt{\dfrac{90 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}707 \cdot 0{,}9}{0{,}7}} \approx 28$ м/с.

Ответ: $\approx 28$ м/с

Главное

Сила сопротивления среды направлена против скорости относительно среды; трения покоя в жидкостях и газах нет.
Зависит от формы и размеров тела, вязкости среды и скорости: $F = k_1v$ при малых, $F = k_2v^2$ при больших скоростях.
Под действием постоянной силы тело выходит на установившуюся скорость, когда сопротивление уравновешивает силу.
Обтекаемая форма уменьшает сопротивление, купол парашюта — увеличивает.
На подъёме сопротивление складывается с тяжестью, на спуске вычитается.

Сопротивление среды

Все уроки станции «Силы в механике»