Динамика движения по окружности

Тело движется по окружности радиусом $R$ с постоянной по модулю скоростью $v$. Скорость направлена по касательной, а ускорение — к центру окружности:

• По второму закону равнодействующая всех сил тоже направлена к центру — её иногда называют центростремительной силой.
• Это не новая сила: её создают известные силы — тяжесть, натяжение, реакция опоры, трение.
• Удобно направить ось $X$ к центру окружности — вдоль ускорения.

Пока столик стоит, нить вертикальна: $T = mg$. При вращении отвес отклоняется на угол $\alpha$, и равнодействующая $T$ и $mg$ становится горизонтальной, к оси:

• Автомобиль на горизонтальном повороте. К центру его поворачивает только сила трения покоя: $\dfrac{mv^2}{R} \le \mu mg$, откуда $R_{\min} = \dfrac{v^2}{\mu g}$.
• Поезд на закруглении. Наружный рельс приподнят, полотно наклонено к центру: равнодействующая $m\vec{g}$ и $\vec{N}$ направлена к центру. Наклон рассчитан на определённую скорость — при большой превышении возникает сильное боковое давление на рельс.
• Велотрек и вираж наклонены по той же причине: $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{v^2}{gR}$.

1. Скорость постоянна по модулю — касательного ускорения нет.
2. Есть только центростремительное ускорение, поворачивающее скорость, — к центру окружности (вариант 2).
3. Это не точка подвеса: центр окружности лежит ниже, в плоскости движения шара.

1. $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{v^2}{gR}$, откуда $R = \dfrac{v^2}{g\operatorname{tg}\alpha}$; длина нити $l = \dfrac{R}{\sin\alpha}$.
2. $l = \dfrac{v^2}{g\operatorname{tg}\alpha\sin\alpha} = \dfrac{9}{10 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{9}{15} = 0{,}6$ м.
3. $l = 60$ см.

1. В верхней точке на человека действуют $mg$ и сила реакции сиденья $N$ — обе вниз, к центру. По третьему закону $N = 700$ Н.
2. Второй закон: $N + mg = \dfrac{mv^2}{R}$, $700 + 700 = \dfrac{70v^2}{20}$.
3. $v^2 = 400$, $v = 20$ м/с.

1. В нижней точке реакция сиденья $N$ вверх, тяжесть вниз, ускорение вверх (к центру): $N - mg = \dfrac{mv^2}{R}$; $N = P = 7100$ Н.
2. $v = \sqrt{\dfrac{(P - mg)R}{m}} = \sqrt{\dfrac{(7100 - 784) \cdot 250}{80}}$.
3. $v \approx 140$ м/с.

1. К центру поворота автомобиль поворачивает сила трения покоя, не больше $\mu mg$.
2. $\dfrac{mv^2}{R} \le \mu mg \Rightarrow R \ge \dfrac{v^2}{\mu g}$, $v = 10$ м/с.
3. $R_{\min} = \dfrac{100}{0{,}25 \cdot 9{,}8} \approx 41$ м.

• При равномерном движении по окружности равнодействующая направлена к центру: $F = \dfrac{mv^2}{R} = m\omega^2R$.
• Её создают обычные силы: тяжесть, натяжение, реакция, трение покоя.
• Конический маятник и отвес: $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{v^2}{gR}$.
• Выпуклый мост: $P = m(g - v^2/R)$; низ петли: $P = m(g + v^2/R)$; верх петли — $N + mg = mv^2/R$.
• Горизонтальный поворот: $R_{\min} = \dfrac{v^2}{\mu g}$.