Сила тяжести. Искусственные спутники Земли

Частный, но важный вид тяготения — притяжение тел к Земле. Его называют силой тяжести. По закону всемирного тяготения

• $M$ — масса Земли, $R$ — её радиус, $h$ — высота тела над поверхностью.
• Сила тяжести направлена вертикально вниз, к центру Земли, и сообщает телу ускорение свободного падения: $\vec{g} = \dfrac{\vec{F}_{\text{т}}}{m}$.
• У поверхности ($h = 0$): $\vec{F}_{\text{т}} = m\vec{g}$.

• $g$ не зависит от массы тела — поэтому все тела в вакууме падают одинаково.
• С высотой $g$ убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Земли.
• До высоты $100$ км ($R = 6370$ км) изменение не больше $\approx 3\,\%$, и обычно считают $g = 9{,}8$ м/с².
• Удобная подстановка: $GM = gR^2$ — массу Земли знать не нужно.

Земля сплюснута у полюсов: экваториальный радиус больше полярного на $21$ км.

Важнее вращение Земли: система «Земля» не инерциальна, и на экваторе часть притяжения идёт на центростремительное ускорение.

В итоге $g_{\text{пол}} = 9{,}83$ м/с², $g_{\text{экв}} = 9{,}78$ м/с², на широте $45°$ — $9{,}81$ м/с². Влияют и породы в недрах: над железной рудой $g$ больше, над нефтью — меньше. Этим пользуются геологи.

Сила тяжести действует на каждую частицу тела, но при любом положении тела их действие можно заменить одной силой, приложенной в одной точке.

• Однородные тела простой формы: у шара и диска — в центре, у параллелограмма и прямоугольного бруса — на пересечении диагоналей, у цилиндра — в середине оси.
• Зная центр тяжести, можно «забыть», что тяжесть действует на все части тела.

Первая космическая скорость — минимальная скорость, которую надо сообщить телу у поверхности, чтобы оно стало спутником на круговой орбите у самой поверхности. При $h = 0$ и $GM = gR^2$:

• Вторая космическая $v_2 = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}} = \sqrt{2}\,v_1 \approx 11{,}2$ км/с: тело преодолевает притяжение Земли и уходит в космос.
• Чтобы долететь до других планет, кораблю нужна скорость больше $v_2$.

1. Расстояние до центра Земли: $R + 3R = 4R$ — в $4$ раза больше, чем у поверхности.
2. $F = G\dfrac{mM}{(4R)^2} = \dfrac{1}{16}\,G\dfrac{mM}{R^2} = \dfrac{mg}{16}$.
3. $F = \dfrac{10 \cdot 9{,}8}{16} \approx 6{,}1$ Н.

1. Расстояние до центра: $R + \dfrac{R}{2} = 1{,}5R$.
2. $F = \dfrac{mg}{1{,}5^2} = \dfrac{90}{2{,}25} = 40$ Н.

1. С высотой $g$ только убывает: нужно $g_h = \dfrac{g}{4}$.
2. $g \sim \dfrac{1}{r^2}$: вчетверо меньше при вдвое большем расстоянии до центра, $r = 2R$.
3. $h = r - R = R = 5000$ км.

1. $v_1 = \sqrt{gR}$, значит $R = \dfrac{v_1^2}{g}$.
2. $\dfrac{R_{\text{Ю}}}{R_{\text{З}}} = \dfrac{5{,}4^2}{2{,}6} = \dfrac{29{,}16}{2{,}6} \approx 11{,}2$.
3. Округляем: $11$.

1. $g = G\dfrac{M}{R^2} = G\dfrac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{R^2} = \dfrac{4}{3}\pi G\rho R$ — при одной плотности $g \sim R$.
2. Объём меньше в $8$ раз — радиус меньше в $\sqrt[3]{8} = 2$ раза.
3. $g_2 = \dfrac{0{,}2}{2} = 0{,}1$ м/с².

• Сила тяжести — тяготение к Земле: $F = G\dfrac{mM}{(R + h)^2}$, у поверхности $F = mg$.
• $g = G\dfrac{M}{R^2}$; с высотой убывает как $\dfrac{1}{(R + h)^2}$; полезно $GM = gR^2$.
• Центр тяжести — точка приложения силы тяжести при любом положении тела.
• Спутник: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{R + h}}$, от массы не зависит; выше — медленнее.
• $v_1 = \sqrt{gR} \approx 7{,}9$ км/с, $v_2 = \sqrt{2}\,v_1 \approx 11{,}2$ км/с.