Понятие дроби. Равенство дробей

Разделим отрезок в $1$ см на две равные части — каждая равна половине сантиметра: $\dfrac12$ см. Рассыплем $1$ кг сахара поровну в четыре пакета — в каждом четверть килограмма: $\dfrac14$ кг.

Буханку в $1$ кг разрезали на три равные части — каждая треть килограмма $\left(\dfrac13 \text{ кг}\right)$, а две такие части весят две третьих килограмма: $\dfrac23$ кг.

Записи $\dfrac12$, $\dfrac23$, $\dfrac34$, $\dfrac56$ называют обыкновенными дробями (или просто дробями).

Если $q$ — натуральное число, дробь $\dfrac1q$ (читается «одна $q$-тая») означает одну $q$-тую часть единицы. Дробь $\dfrac pq$ — это $p$ таких частей: знаменатель показывает, на сколько равных частей делят единицу, числитель — сколько частей взяли.

Число $p$ над чертой — числитель, число $q$ под чертой — знаменатель. Дробь со знаменателем $1$ — другая запись натурального числа: $\dfrac71 = 7$.

Число, которое можно записать в виде $\dfrac pq$ ($p, q$ — натуральные), называют рациональным числом.

1. Чтобы найти одну $q$-тую часть величины, её делят на $q$ равных частей.
2. а) $1000 : 2 = 500$ г; б) $24 : 3 = 8$ ч; в) $1000 : 4 = 250$ кг.
3. г) $1000 : 8 = 125$ м; д) $60 : 4 = 15$ мин.

Получаем равные дроби: $\dfrac23 = \dfrac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \dfrac8{12}$. Сокращаем: $\dfrac68 = \dfrac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \dfrac34$; $\ \dfrac{15}{18} = \dfrac{3 \cdot 5}{3 \cdot 6} = \dfrac56$.

Дробь несократимая, если числитель и знаменатель — взаимно простые числа: $\dfrac34$, $\dfrac57$, $\dfrac{11}8$.

Для каждой дроби существует единственная равная ей несократимая дробь. Чтобы её получить, дробь сокращают на НОД числителя и знаменателя.

$\dfrac{192}{256}$: $\ \text{НОД}(192, 256) = 64$, поэтому $\dfrac{192}{256} = \dfrac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} = \dfrac34$.

Если НОД сразу не виден, сокращают постепенно: $\dfrac{192}{256} = \dfrac{96}{128} = \dfrac{48}{64} = \dfrac{6}{8} = \dfrac34$.

Если числитель делится на знаменатель, дробь равна частному: $\dfrac{16}2 = 8$, а $\dfrac pp = 1$.

1. Делители $15$: $1, 3, 5, 15$; делители $36$: $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$. $\ \text{НОД}(15, 36) = 3$.
2. $\dfrac{15}{36} = \dfrac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \dfrac{5}{12}$. Числа $5$ и $12$ взаимно простые — дробь несократима.

1. $6 = \dfrac61$. Числитель нужно получить $48 = 6 \cdot 8$, значит, по основному свойству числитель и знаменатель умножаем на $8$.
2. $6 = \dfrac{6 \cdot 8}{1 \cdot 8} = \dfrac{48}{8}$. Проверка: $48 : 8 = 6$ ✓.

1. а) $18 = 3 \cdot 6$ — числитель и знаменатель умножаем на $6$: $\dfrac23 = \dfrac{12}{18}$.
2. б) $1 = \dfrac{10}{10}$, $\ 2 = \dfrac{20}{10}$, $\ 5 = \dfrac{50}{10}$.

• $\dfrac pq$ — $p$ частей из $q$ равных частей единицы; $q$ — знаменатель, $p$ — числитель.
• Основное свойство: $\dfrac pq = \dfrac{pn}{qn}$ — умножать и делить числитель и знаменатель на одно число можно.
• Несократимую дробь получают сокращением на НОД.
• $\dfrac p1 = p$, $\ \dfrac pp = 1$; если $p$ делится на $q$, то $\dfrac pq = p : q$.