Смешанные дроби

Если числитель делится на знаменатель, дробь равна натуральному числу: $\dfrac63 = 2$. Иначе неправильную дробь можно записать суммой натурального числа и правильной дроби: $\dfrac72 = 3 + \dfrac12$.

Сумму натурального числа и правильной дроби пишут без знака «+» и называют смешанной дробью: $3 + \dfrac12 = 3\dfrac12$ — «три целых и одна вторая». $3$ — целая часть, $\dfrac12$ — дробная часть.

Неправильная → смешанная: числитель делят на знаменатель с остатком; неполное частное — целая часть, остаток над знаменателем — дробная. $17 : 3 = 5$ (ост. $2$), поэтому $\dfrac{17}3 = 5\dfrac23$.

Смешанная → неправильная: знаменатель умножают на целую часть, прибавляют числитель и записывают в числитель, знаменатель оставляют: $3\dfrac12 = \dfrac{3 \cdot 2 + 1}2 = \dfrac72$.

Почему так: $3\dfrac12 = 3 + \dfrac12 = \dfrac62 + \dfrac12 = \dfrac72$.

1. Знаменатель $5$ умножаем на целую часть $3$ и прибавляем числитель $4$: $5 \cdot 3 + 4 = 19$.
2. $3\dfrac45 = \dfrac{19}5$. Проверка: $19 : 5 = 3$ (ост. $4$) ✓.

• Если целые части не равны, больше та дробь, у которой целая часть больше: $3\dfrac56 < 4\dfrac15$ — ведь $3\dfrac56 < 4 \le 4\dfrac15$.
• Если целые части равны, больше та, у которой больше дробная часть: $3\dfrac25 > 3\dfrac14$, так как $\dfrac25 = \dfrac8{20} > \dfrac5{20} = \dfrac14$.

$2\dfrac15 + 3\dfrac25 = (2 + 3) + \left(\dfrac15 + \dfrac25\right) = 5\dfrac35$.

Если сумма дробных частей — неправильная дробь, из неё выделяют целую часть: $3\dfrac23 + 2\dfrac23 = 5\dfrac43 = 5 + 1\dfrac13 = 6\dfrac13$.

Разные знаменатели дробных частей сначала приводят к общему: $2\dfrac12 + 1\dfrac13 = 2\dfrac36 + 1\dfrac26 = 3\dfrac56$.

Если дробная часть уменьшаемого не меньше, вычитают отдельно: $4\dfrac57 - 1\dfrac27 = 3\dfrac37$.

Если дробная часть уменьшаемого меньше, «занимают» единицу из целой части: $4\dfrac15 - 1\dfrac35 = 3\dfrac65 - 1\dfrac35 = 2\dfrac35$.

Из натурального числа так же: $8 - 1\dfrac27 = 7\dfrac77 - 1\dfrac27 = 6\dfrac57$.

Проверка — сложением: $2\dfrac35 + 1\dfrac35 = 3\dfrac65 = 4\dfrac15$ ✓.

Чтобы умножить или разделить смешанные дроби, их записывают неправильными дробями, а затем действуют по правилам для обыкновенных дробей.

$2\dfrac12 \cdot 1\dfrac15 = \dfrac52 \cdot \dfrac65 = \dfrac{5 \cdot 6}{2 \cdot 5} = 3$.

$3\dfrac13 : 1\dfrac23 = \dfrac{10}3 : \dfrac53 = \dfrac{10}3 \cdot \dfrac35 = 2$.

Ответ, если он неправильная дробь, обычно снова записывают смешанной: $\dfrac{17}{6} = 2\dfrac56$.

1. $7 \cdot 2 + 3 = 17$.
2. $2\dfrac37 = \dfrac{17}7$.

1. $AC$ на $2\dfrac15$ м больше $CB$: $\ AC = 7\dfrac3{10} + 2\dfrac2{10} = 9\dfrac5{10} = 9\dfrac12$ м.
2. $AB = AC + CB = 9\dfrac5{10} + 7\dfrac3{10} = 16\dfrac8{10} = 16\dfrac45$ м.

• $a\dfrac pq = a + \dfrac pq = \dfrac{aq + p}q$; неправильную дробь переводят делением с остатком.
• Сравнивают сначала целые части, при равенстве — дробные.
• Сложение и вычитание — по частям; лишнюю единицу переносят в целую часть, недостающую занимают.
• Умножение и деление — через неправильные дроби.