Часть от целого и целое по его части

1. а) Чтобы найти $\dfrac14$ от $600$ р., сумму делят на $4$: $600 : 4 = 150$ (р.).
2. б) $1000$ р. — это пять пятых долей. Одна пятая: $1000 : 5 = 200$ (р.); две пятых: $200 \cdot 2 = 400$ (р.).
3. Короче: $1000 : 5 \cdot 2 = 400$ (р.).

С умножением дробей то же правило записывается одним действием: чтобы найти дробь от числа, число умножают на эту дробь.

$\dfrac45$ от $17$: сначала $\dfrac15$ от $17$ — это $\dfrac{17}5$, а $\dfrac45$ — в $4$ раза больше: $\dfrac{4 \cdot 17}5 = \dfrac45 \cdot 17 = \dfrac{68}5$.

$\dfrac23$ от $15$ $= 15 \cdot \dfrac23 = 10$; $\quad \dfrac3{10}$ от $40$ $= 40 \cdot \dfrac3{10} = 12$.

1. а) $50$ р. в $6$ раз меньше всей суммы, значит, сумма в $6$ раз больше: $50 \cdot 6 = 300$ (р.).
2. б) Сумма — три третьих. Две трети равны $600$, одна треть: $600 : 2 = 300$ (р.); три трети: $300 \cdot 3 = 900$ (р.).
3. Короче: $600 : 2 \cdot 3 = 900$ (р.).

Одним действием: чтобы найти число по его части, эту часть делят на дробь.

Число, $\dfrac25$ которого равны $60$: $\ 60 : \dfrac25 = 60 \cdot \dfrac52 = 150$. Проверка: $\dfrac25$ от $150$ — это $150 : 5 \cdot 2 = 60$ ✓.

Число, $\dfrac37$ которого равны $30$: $\ 30 : \dfrac37 = 30 \cdot \dfrac73 = 70$.

Не путать: часть от числа — умножаем на дробь, число по части — делим на дробь.

1. В музей: $\dfrac35$ от $80$ — $\ 80 : 5 \cdot 3 = 48$.
2. В театр: $80 - 48 = 32$.
3. Иначе: в театр пошли $1 - \dfrac35 = \dfrac25$ всех, $\ 80 : 5 \cdot 2 = 32$.

1. Свободны $1 - \dfrac25 = \dfrac35$ всех мест.
2. $\dfrac35$ от $60$: $\ 60 : 5 \cdot 3 = 36$.

1. Мальчики составляют $1 - \dfrac35 = \dfrac25$ класса, и это $10$ человек — ищем целое по части.
2. $10 : 2 = 5$ — одна пятая; $5 \cdot 5 = 25$ — весь класс. Или $10 : \dfrac25 = 10 \cdot \dfrac52 = 25$.

1. «Две трети от трети» — это $\dfrac23$ от $\dfrac13$ стада: $\dfrac13 \cdot \dfrac23 = \dfrac29$ стада.
2. $\dfrac29$ стада — $70$ быков. Одна девятая: $70 : 2 = 35$; всё стадо: $35 \cdot 9 = 315$.
3. Проверка: треть стада — $105$, две трети от неё — $70$ ✓.

• Часть от числа: число $: q \cdot p$, или число $\cdot \dfrac pq$.
• Число по его части: часть $: p \cdot q$, или часть $: \dfrac pq$.
• «Остальные» — это $1 - \dfrac pq$ целого.
• Проверка: найденное целое умножаем на дробь — должна получиться данная часть.