Умножение и деление дробей

Произведение двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей: $\dfrac23 \cdot \dfrac57 = \dfrac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \dfrac{10}{21}$.

Сокращать удобно до умножения, прямо в записи: $\dfrac{9}{5} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{9 \cdot 2}{5 \cdot 3} = \dfrac{3 \cdot 2}{5 \cdot 1} = \dfrac65$.

Натуральное число — это дробь $\dfrac n1$, поэтому $n \cdot \dfrac pq = \dfrac{n \cdot p}{q}$: числитель умножают на число, знаменатель оставляют. При $n > 1$ это сумма $n$ одинаковых дробей: $3 \cdot \dfrac27 = \dfrac27 + \dfrac27 + \dfrac27 = \dfrac67$.

Дробь $\dfrac qp$ называют обратной для дроби $\dfrac pq$. Дроби $\dfrac pq$ и $\dfrac qp$ — взаимно обратные числа.

Произведение взаимно обратных чисел равно $1$: $\dfrac35 \cdot \dfrac53 = \dfrac{15}{15} = 1$. Для натурального $n$ обратное число — $\dfrac1n$.

Несколько дробей умножают по очереди. Степень дроби — произведение одинаковых дробей: $\left(\dfrac25\right)^3 = \dfrac25 \cdot \dfrac25 \cdot \dfrac25 = \dfrac8{125}$.

Для дробей верны переместительный и сочетательный законы умножения и распределительный закон — они сводятся к тем же законам для числителей и знаменателей.

Пример: $\dfrac7{15} \cdot \dfrac38 + \dfrac7{15} \cdot \dfrac58 = \dfrac7{15} \cdot \left(\dfrac38 + \dfrac58\right) = \dfrac7{15} \cdot 1 = \dfrac7{15}$.

1. $\dfrac95 \cdot \dfrac23 = \dfrac{9 \cdot 2}{5 \cdot 3}$. Сократим $9$ и $3$ на $3$: $\ \dfrac{3 \cdot 2}{5 \cdot 1} = \dfrac65$.
2. Для бланка ОГЭ: $\dfrac65 = \dfrac{12}{10} = 1{,}2$.

Частным двух дробей называют дробь, которая при умножении на делитель даёт делимое. Проверим формулу: $\dfrac{ps}{qr} \cdot \dfrac rs = \dfrac{psr}{qrs} = \dfrac pq$ ✓.

Правило: чтобы разделить дробь на дробь, можно делимое умножить на дробь, обратную делителю: $\dfrac23 : \dfrac45 = \dfrac23 \cdot \dfrac54 = \dfrac{10}{12} = \dfrac56$; $\ 8 : \dfrac12 = 8 \cdot 2 = 16$.

Чтобы разделить дробь на натуральное число, её знаменатель умножают на это число: $\dfrac78 : 3 = \dfrac7{24}$. Нуль, делённый на дробь, даёт $0$; делить на нуль нельзя.

Частное любых двух натуральных чисел равно дроби, числитель которой — делимое, знаменатель — делитель: $2 : 3 = \dfrac23$, $\ 7 : 3 = \dfrac73$.

Поэтому черту дроби можно читать как знак деления: «два, делённое на три».

Черта дроби над выражением работает как скобки: $\dfrac{4 + 7}{3} = (4 + 7) : 3$. Если черт несколько, главная — та, что означает последнее действие.

1. Делим — значит умножаем на обратную делителю дробь $\dfrac53$: $\ \dfrac{21}2 \cdot \dfrac53$.
2. Сократим $21$ и $3$ на $3$: $\ \dfrac{7 \cdot 5}{2 \cdot 1} = \dfrac{35}2$.
3. Для бланка ОГЭ: $\dfrac{35}2 = 17{,}5$.

1. $\dfrac{14}5 \cdot \dfrac27 = \dfrac{14 \cdot 2}{5 \cdot 7}$. Сократим $14$ и $7$ на $7$: $\ \dfrac{2 \cdot 2}{5 \cdot 1} = \dfrac45$.
2. Для бланка ОГЭ: $\dfrac45 = \dfrac8{10} = 0{,}8$.

1. Число пачек = масса : масса одной пачки.
2. а) $4 : \dfrac14 = 4 \cdot 4 = 16$; б) $11 : \dfrac14 = 11 \cdot 4 = 44$.

• $\dfrac pq \cdot \dfrac rs = \dfrac{pr}{qs}$; сокращаем до умножения.
• $\dfrac pq$ и $\dfrac qp$ взаимно обратные, их произведение $1$.
• $\dfrac pq : \dfrac rs = \dfrac pq \cdot \dfrac sr$ — умножаем на обратную делителю.
• $p : q = \dfrac pq$ — черта дроби означает деление.