Задачи на совместную работу

В таких задачах неважно, какая работа и чем её измеряют — деталями, гектарами, литрами. Если работа выполняется за $10$ ч, то за $1$ ч выполняется $\dfrac1{10}$ её, а вся работа — десять таких частей: $10 \cdot \dfrac1{10} = 1$.

Поэтому всю работу принимают за единицу, а выполненное за единицу времени выражают долей этой единицы — это производительность.

• Работа за $t$ ч в одиночку $\Rightarrow$ за $1$ ч выполняется $\dfrac1t$ работы.
• При совместной работе за $1$ ч выполняется сумма долей.
• Время всей работы $= 1 :$ (доля за единицу времени).

1. За $1$ ч первая бригада выполняет $1 : 36 = \dfrac1{36}$ работы, вторая — $\dfrac1{18}$.
2. Вместе за $1$ ч: $\dfrac1{36} + \dfrac1{18} = \dfrac1{36} + \dfrac2{36} = \dfrac3{36} = \dfrac1{12}$ работы.
3. Вся работа: $1 : \dfrac1{12} = 12$ (ч).

1. Примем расстояние за единицу. За $1$ мин пешеход проходит $\dfrac1{60}$ расстояния, велосипедист — $\dfrac1{20}$.
2. Навстречу за $1$ мин: $\dfrac1{60} + \dfrac3{60} = \dfrac4{60} = \dfrac1{15}$ расстояния.
3. До встречи: $1 : \dfrac1{15} = 15$ (мин).

1. Время — в одних единицах: Ерёма — $5 \cdot 7 = 35$ дней, Емеля — $2 \cdot 7 = 14$ дней.
2. За $1$ день: $\dfrac1{35} + \dfrac1{14} = \dfrac2{70} + \dfrac5{70} = \dfrac7{70} = \dfrac1{10}$ бочки.
3. Вся бочка: $1 : \dfrac1{10} = 10$ (дней).

1. За $1$ день: муж — $\dfrac1{14}$ кади, вместе — $\dfrac1{10}$.
2. Жена за $1$ день — разность: $\dfrac1{10} - \dfrac1{14} = \dfrac7{70} - \dfrac5{70} = \dfrac2{70} = \dfrac1{35}$ кади.
3. Всю кадь: $1 : \dfrac1{35} = 35$ (дней).

Ту же задачу в давние времена решали так. Возьмём время, которое делится и на $14$, и на $10$: $\text{НОК}(14, 10) = 70$ дней.

За $70$ дней муж один выпьет $70 : 14 = 5$ кадей, а вдвоём с женой — $70 : 10 = 7$ кадей. Значит, жена за $70$ дней выпьет $7 - 5 = 2$ кади, а одну — за $70 : 2 = 35$ дней.

Многие задачи на совместную работу можно решить этим способом. В учебнике берут $140$ дней — подходит любое общее кратное.

1. За $1$ ч: $\dfrac1{15} + \dfrac1{10} = \dfrac2{30} + \dfrac3{30} = \dfrac5{30} = \dfrac16$ заказа.
2. Весь заказ: $1 : \dfrac16 = 6$ (ч).

1. За $1$ мин вместе — $\dfrac16$ грядки, Таня — $\dfrac1{24}$.
2. Аня за $1$ мин: $\dfrac16 - \dfrac1{24} = \dfrac4{24} - \dfrac1{24} = \dfrac3{24} = \dfrac18$ грядки.
3. Вся грядка: $1 : \dfrac18 = 8$ (мин).

1. Здесь работу можно измерить книгами: первая в день — $900 : 10 = 90$ книг, вторая — $900 : 15 = 60$ книг.
2. Вместе в день $90 + 60 = 150$ книг; на всё — $900 : 150 = 6$ (дней).
3. Через доли: $\dfrac1{10} + \dfrac1{15} = \dfrac5{30} = \dfrac16$ работы в день — тот же ответ.

• Вся работа (бассейн, путь, бочка) — единица.
• Одному на всё $t$ — за единицу времени $\dfrac1t$; при совместной работе доли складывают.
• Если известна совместная работа и работа одного — второго находят вычитанием долей.
• Время $= 1 :$ доля за единицу времени. Без дробей — через общее кратное времён.