Приведение к общему знаменателю. Сравнение дробей

Дроби $\dfrac7{25}$ и $\dfrac{13}{25}$ имеют общий знаменатель $25$. У дробей $\dfrac78$ и $\dfrac13$ знаменатели разные, но их можно привести к общему знаменателю.

Нужно число, которое делится и на $8$, и на $3$, например $24$. Числитель и знаменатель $\dfrac78$ умножим на дополнительный множитель $3$ (его пишут слева над числителем): $\ ^{3/}\dfrac78 = \dfrac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \dfrac{21}{24}$.

Для $\dfrac13$ дополнительный множитель $8$: $\ ^{8/}\dfrac13 = \dfrac{8}{24}$. Дроби приведены к общему знаменателю: $\dfrac{21}{24}$ и $\dfrac8{24}$.

Общим знаменателем всегда может быть произведение знаменателей: для $\dfrac38$ и $\dfrac5{12}$ это $96$: $\ \dfrac38 = \dfrac{36}{96}$, $\ \dfrac5{12} = \dfrac{40}{96}$.

Но подойдёт любое число, делящееся на $8$ и на $12$: $24, 48, 96, \ldots$ Удобнее всего наименьшее — $\text{НОК}(8, 12) = 24$: $\ \dfrac38 = \dfrac9{24}$, $\ \dfrac5{12} = \dfrac{10}{24}$.

Дополнительный множитель для каждой дроби = общий знаменатель : её знаменатель.

1. $36 = 2^2 \cdot 3^2$, $\ 54 = 2 \cdot 3^3$; $\ \text{НОК}(36, 54) = 2^2 \cdot 3^3 = 108$.
2. Дополнительные множители: $108 : 36 = 3$ и $108 : 54 = 2$.
3. $\dfrac5{36} = \dfrac{5 \cdot 3}{36 \cdot 3} = \dfrac{15}{108}$; $\quad \dfrac7{54} = \dfrac{7 \cdot 2}{54 \cdot 2} = \dfrac{14}{108}$.

Примем длину $AB$ за $1$. Тогда $AC = \dfrac37$, $\ AD = \dfrac57$; $AD$ длиннее $AC$, поэтому $\dfrac57 > \dfrac37$.

Из двух дробей с общим знаменателем больше та, у которой числитель больше: если $p > r$, то $\dfrac pq > \dfrac rq$.

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их приводят к общему знаменателю. $\dfrac38$ и $\dfrac5{14}$: общий знаменатель $56$, $\ \dfrac{21}{56} > \dfrac{20}{56}$, значит, $\dfrac38 > \dfrac5{14}$.

Дробь правильная, если её числитель меньше знаменателя: $\dfrac12, \dfrac23, \dfrac{17}{24}$. Дробь неправильная, если числитель больше знаменателя или равен ему: $\dfrac21, \dfrac32, \dfrac53, \dfrac88$.

Правильная дробь меньше $1$, а неправильная больше или равна $1$: $\dfrac35 < \dfrac55 = 1$, $\ \dfrac53 > \dfrac33 = 1$. Поэтому любая правильная дробь меньше неправильной.

Если первая дробь меньше второй, а вторая меньше третьей, то первая меньше третьей: при общем знаменателе из $p < r$ и $r < s$ следует $p < s$.

• Одинаковые числители: больше та дробь, у которой знаменатель меньше (части крупнее): $\dfrac37 > \dfrac38$.
• Сравнение с единицей: $\dfrac{89}{90} < 1 < \dfrac{91}{90}$.
• Дополнение до единицы: $\dfrac{11}{12}$ и $\dfrac{12}{13}$. До $1$ не хватает $\dfrac1{12}$ и $\dfrac1{13}$; $\dfrac1{13} < \dfrac1{12}$, значит, $\dfrac{12}{13}$ ближе к $1$ и больше.
• Сравнение с половиной: $\dfrac27 < \dfrac12$, так как $2 \cdot 2 < 7$; $\ \dfrac{15}{19} > \dfrac12$, так как $15 \cdot 2 > 19$.

1. Сравниваем доли попаданий.
2. а) Алёша — $\dfrac5{10} = \dfrac12$, папа — $\dfrac35 = \dfrac6{10}$; $\ \dfrac6{10} > \dfrac5{10}$ — лучше у папы.
3. б) Саша — $\dfrac6{10} = \dfrac{24}{40}$, Коля — $\dfrac58 = \dfrac{25}{40}$; $\ \dfrac{25}{40} > \dfrac{24}{40}$ — лучше у Коли.

1. $0{,}5 = \dfrac12$. А) $\dfrac27$: $2 \cdot 2 = 4 < 7$, значит, $\dfrac27 < \dfrac12$ — утверждение 2.
2. Б) $\dfrac{15}{19}$ — правильная, меньше $1$; $15 \cdot 2 = 30 > 19$ — больше половины. Утверждение 4.
3. В) $\dfrac{20}9 > \dfrac{18}9 = 2$ — утверждение 3. Г) $\dfrac88 = 1 < \dfrac{11}8 < \dfrac{16}8 = 2$ — утверждение 1.

• Общий знаменатель — любое общее кратное знаменателей; наименьший — их НОК.
• Дополнительный множитель = общий знаменатель : знаменатель дроби.
• При общем знаменателе больше дробь с большим числителем; при общем числителе — с меньшим знаменателем.
• Правильная дробь $< 1 \le$ неправильная.