Сложение и вычитание дробей

Отрезок $AB = 1$ разделён на $9$ равных частей: $AC = \dfrac29$, $CD = \dfrac49$, $AD = \dfrac69$. Так как $AC + CD = AD$, то $\dfrac29 + \dfrac49 = \dfrac69$.

Сумма дробей с общим знаменателем есть дробь, числитель которой равен сумме числителей, а знаменатель — тот же. Результат сокращают: $\dfrac69 = \dfrac23$.

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их приводят к общему знаменателю, а затем складывают числители: $\dfrac16 + \dfrac3{10} = \dfrac5{30} + \dfrac9{30} = \dfrac{14}{30} = \dfrac7{15}$.

Формула выше работает всегда (общий знаменатель — произведение): $\dfrac23 + \dfrac35 = \dfrac{2 \cdot 5 + 3 \cdot 3}{15} = \dfrac{19}{15}$. Но если знаменатели не взаимно простые, она даёт лишние вычисления — лучше брать наименьший общий знаменатель.

Несколько дробей складывают по очереди: к первой прибавляют вторую, к сумме — третью.

Для дробей, как и для натуральных чисел, верны переместительный и сочетательный законы: при общем знаменателе всё сводится к сложению числителей — натуральных чисел.

Поэтому сумму нескольких дробей пишут без скобок и группируют удобно: $\dfrac13 + \dfrac27 + \dfrac23 = \left(\dfrac13 + \dfrac23\right) + \dfrac27 = 1 + \dfrac27$.

1. Знаменатели одинаковые — складываем числители: $\dfrac{1 + 4}9 = \dfrac59$.
2. $5$ и $9$ взаимно простые — сокращать нечего.

1. $25$ и $4$ взаимно простые, общий знаменатель $100$: дополнительные множители $4$ и $25$.
2. $\dfrac2{25} + \dfrac14 = \dfrac8{100} + \dfrac{25}{100} = \dfrac{33}{100}$.
3. В бланк ОГЭ ответ записывают десятичной дробью: $\dfrac{33}{100} = 0{,}33$ (десятичные дроби — в 6 классе).

Разностью двух дробей называют дробь, которая в сумме с вычитаемым даёт уменьшаемое: $\dfrac35 - \dfrac15 = \dfrac25$, так как $\dfrac25 + \dfrac15 = \dfrac35$.

При общем знаменателе вычитают числители. При разных — сначала приводят к общему знаменателю: $\dfrac78 - \dfrac13 = \dfrac{21}{24} - \dfrac8{24} = \dfrac{13}{24}$; $\ \dfrac5{12} - \dfrac7{18} = \dfrac{15}{36} - \dfrac{14}{36} = \dfrac1{36}$.

Число $0$ считают равным дроби $\dfrac0q$; разность равных дробей равна нулю. Из меньшей дроби большую пока вычитать нельзя — для этого появятся отрицательные числа.

1. Знаменатели равны: $\dfrac{47 - 2}9 = \dfrac{45}9$.
2. Числитель делится на знаменатель: $\dfrac{45}9 = 45 : 9 = 5$.

1. Единицу записываем дробью с нужным знаменателем: $1 = \dfrac55 = \dfrac{25}{25} = \dfrac{10}{10}$.
2. а) $\dfrac55 - \dfrac25 = \dfrac35$; б) $\dfrac{25}{25} - \dfrac7{25} = \dfrac{18}{25}$; в) $\dfrac{10}{10} - \dfrac3{10} = \dfrac7{10}$.

1. Все сутки — единица: $1 - \dfrac13 = \dfrac33 - \dfrac13 = \dfrac23$ суток.
2. $\dfrac13$ суток — это $24 : 3 = 8$ ч, а $\dfrac23$ — вдвое больше: $16$ ч.

• $\dfrac pq \pm \dfrac rq = \dfrac{p \pm r}q$ — при общем знаменателе действуют с числителями.
• При разных знаменателях — сначала к наименьшему общему знаменателю.
• Законы сложения для дробей те же; результат сокращают.
• $1 = \dfrac qq$ — так вычитают дробь из единицы.